Колмогорова уравнение

- уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/021226-83.jpg] (обратное, или первое, уравнение; s < t)или вида [img: http://localhost:8080/file/021226-84.jpg] (прямое, или второе, уравнение; t > s) для переходной функции [f=P(s, х; t, Г), [img: http://localhost:8080/file/021226-85.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021226-86.jpg] - измеримое пространство] или ее плотности [f=p(s, x; t, Г), если она существует], к уравнению (1) для переходной функции P(s, x; t, Г) присоединяется условие [img: http://localhost:8080/file/021226-87.jpg] а к уравнению (2) - условие [img: http://localhost:8080/file/021226-88.jpg] где I Г (х) - индикатор множества Г; в этом случае оператор As- оператор, действующий в пространстве функций, а [img: http://localhost:8080/file/021226-89.jpg] - в пространстве обобщенных мер. Для марковских процессов со счетным множеством состояний переходная функция полностью определяется вероятностями перехода pij(s, t) = P{s, i; t,{j}) (из состояния iв момент s в состояние j в момент t), для к-рой обратное и прямое уравнения Колмогорова имеют (при некоторых дополнительных предположениях) следующий вид: [img: http://localhost:8080/file/021226-90.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021226-91.jpg] В случае конечного числа состояний уравнения (3), (4) справедливы, если только предположить существование пределов в (5). Другой важный класс процессов, для к-рых детально изучен вопрос о справедливости уравнений (1) и (2), - это процессы диффузионного типа, определяемые тем, что их переходная функция Р(s, x; t, Г), [img: http://localhost:8080/file/021226-92.jpg] удовлетворяет следующим условиям: а) для всякого [img: http://localhost:8080/file/021226-93.jpg] и s>0 равномерно по s,s<t, [img: http://localhost:8080/file/021226-94.jpg] б) существуют функции a(s, x)и b(s, x)такие, что для всякого хи e>0 равномерно по s,s<t, [img: http://localhost:8080/file/021226-95.jpg] Тогда, если существует плотность p=p(s, x; t, у), то (при некоторых дополнительных предположениях) справедливо (по t>s и [img: http://localhost:8080/file/021226-96.jpg]) прямое уравнение [img: http://localhost:8080/file/021226-97.jpg] (называемое также уравнением Фоккера - Планка), а обратное уравнение (по s<t и [img: http://localhost:8080/file/021226-98.jpg]) имеет следующий вид [img: http://localhost:8080/file/021226-99.jpg]