Комбинаторная геометрия

- раздел математики, объединяющий круг задач, в к-рых исследуются экстремальные свойства комбинаторного характера для систем фигур. Эти задачи связаны, в первую очередь, с оптимальным в нек-ром смысле расположением выпуклых множеств. Примером одной из старейших задач такого рода может служить задача о 13 шарах: каково максимальное число равных материальных шаров, к-рые можно приложить к равному всем им шару в евклидовом пространстве? И. Кеплер (J. Kepler, 1611) указал число 12, но строгое решение этой задачи было дано в сер. 20 в. Б. Л. Ван дер Варденом (В. L. Van der Waerden) и К. Шютте (К. Schutte). Термин "К. г.", по-видимому, впервые появился в 1955 (см. [1]). Обычно с этим годом связывают возникновение К. г. как направления в математике, хотя к ней можно отнести и боЛее ранние результаты (см., напр., [2]). Для К. г. характерна наглядность ее задач. В К. г. широко используются комбинаторные соображения и сочетания приемов из различных областей математики (топологии, функционального анализа, геометрии в целом, теории графов и др.). Одной из центральных групп задач К. г. являются задачи о разбиении фигур на части, напр. Ворсука проблема. Большую группу задач К. г. составляют. задачи о покрытиях, в к-рых исследуется возможность покрытия заданного множества фигурами специального вида (см., напр., Хадвигера гипотезу о покрытии выпуклого тела минимальным числом меньших гомотетичных ему тел с коэффициентом гомотетии k,0<k<1); освещения задачи о минимальном числе направлений пучков параллельных лучей или источников, освещающих границу выпуклого тела и др. К. г. родственна дискретной геометрии, см., напр., определенным образом связанную с гипотезой Хадвигера и задачами освещения Эрдёша задачу о нахождении максимального числа точек евклидова пространства Rn, любые три из к-рых образуют треугольник с углами, нe превосходящими p/2. К. г. тесно примыкает к теории выпуклых множеств. См., напр., Хелли теорему, к-рая описывает пересечения нек-рых семейств выпуклых множеств в зависимости от пересечения их подсемейств.