Коммутативная групповая схема

- групповая схема Gнад базисной схемой S, значение к-рой на любой S-схеме является абелевой группой. Примерами К. г. с. служат абелевы схемы и алгебраические торы. Обобщением алгебраич. торов в рамках теории групповых схем служит следующее понятие. Говорят, что К. г. с. есть групповая схема мультипликативного типа, если для любой точки [img: http://localhost:8080/file/021229-88.jpg] существует открытая окрестность [img: http://localhost:8080/file/021229-89.jpg] и абсолютно плоский квазикомпактный морфизм [img: http://localhost:8080/file/021229-90.jpg] такой, что К. г. с. [img: http://localhost:8080/file/021229-91.jpg] является диагонализируемой над U'. При этом диагонализируемой групповой схемой наз. групповая схема [img: http://localhost:8080/file/021229-92.jpg] где М - абелева группа и OS(M) - ее групповая алгебра с коэффициентами в структурном пучке [img: http://localhost:8080/file/021229-93.jpg] схемы S. В случае, когда Sесть спектр алгебраически замкнутого поля, это понятие сводится к понятию диагонализируемой группы. Если М= Z- аддитивная группа целых чисел, то DS(M)совпадает с мультипликативной групповой схемой Gm, S. Пусть G- групповая схема над S, слой к-рой над точкой [img: http://localhost:8080/file/021229-94.jpg] является групповой схемой мультипликативного типа над полем вычетов k(s). Тогда существует окрестность Uточки sтакая, что [img: http://localhost:8080/file/021229-95.jpg] является групповой схемой мультипликативного типа, над U(теорема жесткости Гротейдика). Строение К. г. с. изучено лишь в случае, когда базисная схема Sесть спектр поля k, а К. г. с. Gимеет конечный тип над к. В этом случае К. г. с. содержит максимальную инвариантную групповую аффинную подсхему, фактор по к-рой является абелевым многообразием. Любая аффинная К. г. с. Gтакого типа обладает максимальной инвариантной групповой подсхемой Gm мультипликативного типа, фактор по к-рой является унипотентной группой. Если поле kсовершенно, то [img: http://localhost:8080/file/021229-96.jpg] где Gn- максимальная унипотентная подгруппа в G.