Компактный оператор

- оператор А, определенный на множестве Мтопологич. векторного пространства X, со значениями в топологич. векторном пространстве Y такой, что всякое ограниченное подмножество множества Мон отображает в предкомпактное множество пространства Y. Если, кроме того, оператор Анепрерывен на М, то он наз. вполне непрерывным на этом множестве. В случае, когда Xи Yбанаховы или, более общо, борнологические пространства, а оператор [img: http://localhost:8080/file/021230-44.jpg] линеен, то понятия компактного и вполне непрерывного оператора совпадают. Если А- компактный, а В- непрерывный операторы, то [img: http://localhost:8080/file/021230-45.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021230-46.jpg] - К. о., так что множество К. о. есть двусторонний идеал в кольце всех непрерывных операторов. В частности, К. о. не имеет непрерывного обратного. Свойство компактности играет существенную роль в теории неподвижных точек оператора и при изучении его спектра, к-рый в этом случае обладает рядом "хороших" свойств. Примерами К. о. являются интегральные операторы Фредгольма [img: http://localhost:8080/file/021230-47.jpg] Гаммерштейна и Урысона [img: http://localhost:8080/file/021230-48.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021230-49.jpg] в нек-рых функциональных пространствах при соответствующих ограничениях на функции K{t, s), g(t, и)и K(t, s, и).