Комплекс

- одно из основных, понятий гомологической алгебры. Пусть А- абелева категория. Градуированным объектом наз. последовательность [img: http://localhost:8080/file/021231-45.jpg] объектов К n из А. Последовательность а=(а п). морфизмов а n: [img: http://localhost:8080/file/021231-46.jpg] нез. морфизмом а: [img: http://localhost:8080/file/021231-47.jpg] градуированых объектов. Полагая K(h)n= Kn+h, можно определить объект К(h). Морфизм градуированных объектов [img: http://localhost:8080/file/021231-48.jpg] наз. морфизмом степени hиз К' в К. Градуированный объект наз. положительным, если К n=0 для n<0, ограниченным снизу, если К(К)положителен для нок-рого h, и конечным, если К п=0 для всех, кроме конечного множества, чисел п. Цепной комплекс в категории Асостоит из градуированного объекта Ки морфизма d: [img: http://localhost:8080/file/021231-49.jpg] степени - 1 такого, что сР = О. Подробнее: d=(dn), где dn: [img: http://localhost:8080/file/021231-50.jpg] и dn-1dn=O для любого п. Морфизм цепных комплексов [img: http://localhost:8080/file/021231-51.jpg] это морфизм а: [img: http://localhost:8080/file/021231-52.jpg] градуированных объектов такой, что ad' = da. Двойственным образом (как градуированный объект с морфизмом dстепени +1) определяется коцепной комплекс. Наиболее часто рассматриваются К. в категориях абелевых групп, модулей, пучков абелевых групп на топологич. пространстве. Так, К. абелевых групп есть градуированная дифференциальная группа, дифференциал в к-рой имеет степень - 1 или +1. С каждым цепным К. Ксвязаны три градуированные объекта: [img: http://localhost:8080/file/021231-53.jpg] - границы; [img: http://localhost:8080/file/021231-54.jpg] -циклы; [img: http://localhost:8080/file/021231-55.jpg] - n-мерные гомологии (см. Гомологии комплекса). Для коцепного К. аналогичные объекты наз. кограницами, коциклами и когомологиями. Если Н(К)=0, то говорят, что К. К- ацикличен. Морфизм а: [img: http://localhost:8080/file/021231-56.jpg]. комплексов индуцирует морфизмы [img: http://localhost:8080/file/021231-57.jpg] и, следовательно, морфизм гомологии или когомологии [img: http://localhost:8080/file/021231-58.jpg] Два морфизма а, b: [img: http://localhost:8080/file/021231-59.jpg] наз. гомотопными (что обозначается [img: http://localhost:8080/file/021231-60.jpg]), если существует такой морфизм s: К'->К(1)(или s: [img: http://localhost:8080/file/021231-61.jpg] для коцепных К.) градуированных объектов (называемый гомотопией), что [img: http://localhost:8080/file/021231-62.jpg] (откуда следует, что Н(а)=Н(b)). Комплекс Кназ. стягиваемым, если [img: http://localhost:8080/file/021231-63.jpg] (в этом случае К. Кацикличен). Если [img: http://localhost:8080/file/021231-64.jpg] - точная последовательность К., то существует связывающий морфизм д: [img: http://localhost:8080/file/021231-65.jpg]. степени -1 (+1), естественный относительно морфизмов точных последовательностей и такой, что ассоциированная с ним длинная гомологическая последовательность (т. е. последовательность [img: http://localhost:8080/file/021231-66.jpg] для цепного К. и последовательность [img: http://localhost:8080/file/021231-67.jpg] для коцепного К.) является точной. Конус морфизма цепных комплексов а: [img: http://localhost:8080/file/021231-68.jpg] есть К. МС (а), определенный следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/021231-69.jpg] Разложение К. МК (а)в прямую сумму приводит к точной последовательности К. [img: http://localhost:8080/file/021231-70.jpg] для к-рой ассоциированная длинная гомологич. последовательность изоморфна последовательности [img: http://localhost:8080/file/021231-71.jpg] Следовательно, цепной К. МК (а)ацикличен тогда и только тогда, когда Н(а)- изоморфизм. Аналогичные понятия и факты имеют место для коцепных К.