Комплексификация группы ли

G над R - комплексная группа Ли G С, содержащая Gв качестве вещественной подгруппы Ли и такая, что алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/021231-100.jpg] группы Gявляется вещественной формой алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/021231-101.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/021231-102.jpg] (см. Комплексификация ал гебра Ли). Группа Gпри этом наз. вещественной формой группы Ли G С. Напр., группа U(п)всех унитарных матриц порядка пявляется вещественной формой группы GL (п, С) всех невырожденных матриц порядка пс комплексными элементами. Имеется взаимно однозначное соответствие между комплексно аналитическими линейными представлениями связной односвязной комплексной группы Ли [img: http://localhost:8080/file/021231-103.jpg] и вещественно аналитич. редставлениями ее связной вещественной формы G, при к-ром неприводимым представлениям соответствуют неприводимые. Это соответствие устанавливается следующим образом: если р - (неприводимое) конечномерное комплексно аналитическое представление группы GC, то ограничение р на Gявляется (неприводимым) вещественно аналитич. редставлением группы G. Не всякая вещественная группа Ли обладает комплексификацией. В частности, связная полупростая группа Ли Gобладает комплексификацией тогда и только тогда, когда Gлинейна, т. е. изоморфна подгруппе некоторой группы GL(n, С). Например, универсальная накрывающая группы вещественных матриц второго порядка с определителем 1 не имеет комплексификации. Однако всякая компактная группа Ли комплексификацией обладает. Отсутствие комплексификации у нек-рых вещественных групп Ли инспирировало введение более общего понятия - универсальной комплексификации [img: http://localhost:8080/file/021231-104.jpg] вещественной группы Ли G. Здесь [img: http://localhost:8080/file/021231-105.jpg] - комплексная группа Ли, т: [img: http://localhost:8080/file/021231-106.jpg] - вещественно аналитич. омоморфизм такой, что для любой комплексной группы Ли Hи любого вещественно аналитич. омоморфизма [img: http://localhost:8080/file/021231-107.jpg] существует единственный комплексно аналитич. омоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021231-108.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/021231-109.jpg] Универсальная К. г. Ли всегда существует и определена однозначно [3]. Однозначность означает, что если [img: http://localhost:8080/file/021231-110.jpg] - другая универсальная К. г. Ли G, то существует единственный изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021231-111.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/021231-112.jpg] В общем случае [img: http://localhost:8080/file/021231-113.jpg] если же Gодносвязна, то [img: http://localhost:8080/file/021231-114.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021231-115.jpg] и ядро гомоморфизма т дискретно. См. также Форма группы Ли.