Комплексная структура

1) К. с. на действительном векторном пространстве V- структура комплексного векторного пространства на V, согласованная с исходной структурой. К. с. на V полностью определяется заданием оператора умножения на число i, роль к-рого может играть произвольное линейное преобразование I: [img: http://localhost:8080/file/021231-116.jpg] удовлетворяющее условию I2=-Е. Поэтому преобразование такого типа часто паз. К. с. на V. Если Vснабжено К. с. и v1,..., vn- базис этого пространства над С, то v1,..., vn, Iv1,..., Ivn образуют его базис над R, так что [img: http://localhost:8080/file/021231-117.jpg] Если I - К. с. на V, то комплексификация Vпространства Vраспадается в прямую сумму [img: http://localhost:8080/file/021231-118.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021231-119.jpg] - собственные подпространства преобразования I, продолженного на [img: http://localhost:8080/file/021231-120.jpg] отвечающие собственным значениям [img: http://localhost:8080/file/021231-121.jpg] причем V- = V+. Обратно, всякое комплексное подпространство [img: http://localhost:8080/file/021231-122.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/021231-123.jpg] определяет на VК. с, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/021231-124.jpg] Любые две К. с. на 2n-мерном действительном пространстве Vпереводятся друг в друга нек-рым автоморфизмом пространства V. Множество всех К. с. на Vявляется, таким образом, однородным пространством группы GL(2n, R)и отождествляется с факторпространством GL(2n, R)/H, где [img: http://localhost:8080/file/021231-125.jpg] - подгруппа, состоящая из невырожденных матриц вида [img: http://localhost:8080/file/021231-126.jpg] 2) К. с.- структура комплексного аналитического многообразия. Если М- дифференцируемое многообразие, то К. с. на М- это комплексный аналитич. атлас на М, согласованный с заданным на Мдействительным дифференцируемым атласом. При этом [img: http://localhost:8080/file/021231-127.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021231-128.jpg] К. с. на Миндуцирует К. с. на каждом касательном пространстве Т x (М)и тем самым индуцирует на М почти комплексную структуру, к-рая ее полностью определяет.