Комплексного интегрирования метод

контурного интегрирования метод,- один из наиболее универсальных методов исследования и приложений дзета-функций, L-функций, вообще, функций, определяемых рядами Дирихле. К. и. м. в теорию чисел впервые ввел Б. Риман (В. Riemann) [1] в 1876 в связи с изучением свойств дзета-функции. Известные в настоящее время применения К. и. м., опирающиеся на теорему Коши о вычетах, теорему Фрагмена - Линделёфа для рядов Дирихле, метод перевала и т. п., весьма разнообразны по своей форме и содержанию. К. и. м. используется для аналитич. родолжения и вывода функциональных уравнений функций Дирихле; для вывода приближенных функциональных уравнений этих функций; для оценок числа их нетривиальных нулей и оценок плотности распределения таких нулей в той или иной части критической полосы; для получения асимптотич. формул и разного рода оценок важнейших арифметич. функций. Классический вариант К. и. м. иллюстрируется нижеследующим примером аналитич. родолжения и вывода функционального уравнения дзета-функции Римана (см. [2], [3]). При s=s+it,s>0, п>0 [img: http://localhost:8080/file/021231-129.jpg] После суммирования получается, что функция z(s), первоначально определенная рядом [img: http://localhost:8080/file/021231-130.jpg] при s>1, представляется также формулой [img: http://localhost:8080/file/021231-131.jpg] Пусть рассматривается интеграл [img: http://localhost:8080/file/021231-132.jpg] взятый вдоль (бесконечного) контура С=a+b+g, где а, упроходят по нижнему и верхнему краям разреза вдоль отрицательной действительной оси плоскости z, обходя начало координат по окружности р 4 радиуса r<2p. Интеграл J(s)сходится при всех s и притом равномерно в любом круге |s|<D, ибо на a и g подинтегральная функция меньше e-0.5|z| для всех |х|>z0(D). По теореме Коши он не зависит от r и, значит, представляет целую функцию s. Полагая, что на a,b, gсоответственно z=de-ip, z=reiq, z=deip и f(z)= 1/(ez-1), легко расписать J(s)в виде интегралов по действительным переменным: [img: http://localhost:8080/file/021231-133.jpg] В круге |z|<p будет |zf(z)|<A. Поэтому второе слагаемое правой части этого равенства меньше, чем 2p Аrs-1 еp|t|, что для любого фиксированного sс s>1 стремится к нулю при [img: http://localhost:8080/file/021231-134.jpg] Следовательно, в силу формулы (1), pJ(s) = sinpsГ(s)z(s)и [img: http://localhost:8080/file/021231-135.jpg] Эта формула, доказанная в предположении s>1, дает продолжение функции z(s) на всю плоскость. Из нее видно, что z(s)является однозначной аналитич. функцией во всей плоскости s, имеющей единственной особенностью простой полюс в точке s= 1 с вычетом 1. Для вывода функционального уравнения z(s)предполагается, что s<0, N- целое >4. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021231-136.jpg] где С(N)- контур, отличающийся от прежнего контура замыканием а, удугой окружности радиуса R = 2N+1 с центром в начале координат. Интеграл по внешней дуге контура С(N)оценивается в виде ARsep|t| что при s<0 стремится к нулю при [img: http://localhost:8080/file/021231-137.jpg] Отсюда, [img: http://localhost:8080/file/021231-138.jpg] при С [img: http://localhost:8080/file/021231-139.jpg] другой стороны по теореме о вычетах [img: http://localhost:8080/file/021231-140.jpg] Поэтому при s<0 [img: http://localhost:8080/file/021231-141.jpg] Это равенство в соединении с формулой (2) дает соотношение: [img: http://localhost:8080/file/021231-142.jpg] к-рое по теории аналитич. родолжения имеет место уже во всей плоскости s и наз. функциональным уравнением дзета-функции Римана. К. и. м. играет большую роль в получении приближенных функциональных уравнений, к-рые лежат в основе современных оценок функций Дирихле (см. [4],[5]). К. и. м. является основным в исследованиях распределения нулей функций z(s), L(s,c)и др. До недавнего времени здесь он применялся в форме известных теоремы Литлвуда о числе нулей в прямоугольнике регулярной при s>О функции F(s)и теоремы Баклунда об arg F(s), а также теорем о выпуклости средних значений аналитич. функций (см. [2]). В 1969 X. Монтгомери (G. Montgomerie) [6] нашел новый прямой и более сильный путь использования К. п. м. для этих целей. К. и. м. в приложениях к теории чисел естественно возникает в связи с формулой суммирования коэффициентов рядов Дирихле (см. [2], [7]).