Конечности теоремы

- 1) К. т. в алгебраической геометрии - утверждения о различных объектах алгебраич. геометрии (пространствах когомологий, алгебраич. многообразиях, схемах, расслоениях и т. п.), состоящие в том, что эти объекты зависят от конечного числа параметров или же образуют конечное множество. Первый круг теорем конечности относится к пространствам когомологий когерентных алгебраич. пучков. Фундаментальная теорема состоит в том, что эти пространства конечномерны над основным полем k, если многообразие собственно (для k=С это свойство равносильно компактности) (см. [2]). В рамках теории схем были получены весьма широкие обобщения этой теоремы. Одно из них обобщает данную теорему на случай собственных морфизмов схем и утверждает, что прямой образ когерентного пучка относительно такого отображения когерентен (см. [3], [4]). Другое обобщение относится к изучению когомологпй несобственных многообразий. Оказывается, что если рассматриваемое многообразие Xполучается выбрасыванием нек-рого подмногообразия Yиз собственного многообразия, то можно оценить те размерности, в к-рых группы когомологий конечномерны. Эти оценки зависят от коразмерности многообразия Yи свойств его особых точек (см. [5], [6]). Известны также соответствующие К. т. для этальных когомологий. Другой круг К. т. относится к подсхемам п, более общо, когерентным пучкам на фиксированной собственной схеме. Эти объекты могут быть параметризованы в весьма широкой ситуации Гильберта схемами (или для обратимых пучков - Пикара схемами). Наиболее общая из таких К. т. утверждает, что эти схемы квазипроективны, если ограничиться подсхемами пли пучками с одним и тем же Гильберта многочленом[4]. Ее частным случаем является тот факт, и что алгебраич. подмногообразия данной степени в проективном пространстве зависят от конечного числа параметров, а также теорема о конечности базиса Нерона - Севери группы. Эти теоремы находят применение в целом ряде проблем конечности, возникающих в диофантовой геометрии. Среди таких проблем: вопрос о конечности множества рациональных точек алгебраич. многообразия, определенного над глобальным полем (многомерный аналог гипотезы Морделла), гипотеза Шафаревича о конечности числа алгебраич. кривых, определенных над данным глобальным полем и с фиксированными вырождениями, вопрос о конечной порожденности группы рациональных точек алгебраич. группы.