Конструктивная квантовая теория поля

- раздел математической физики, изучающий свойства моделей квантовой теории поля (к. т. п.). Одна из задач К. к. т. п. состоит в исследовании квантовых полей в реальном 4-мерном пространстве-времени. Однако само существование этих полей остается (1978) математически недоказанным. Основные усилия были направлены на изучение менее сингулярных моделей к. т. п. в 2- и 3-мерном пространстве-времени. К. к. т. п. представляет собой синтез идей и методов аксиоматич. теории поля и теории перенормировок с современными математич. методами. Само понятие релятивистского квантового поля допускает различные эквивалентные математич. интерпретации, что позволяет использовать в к. т. п. методы различных областей математики. Квантовое поле можно трактовать либо в терминах теории нелинейных гиперболич. уравнений для операторных обобщенных функций, либо в терминах теории обобщенных случайных полей (устанавливая тесный контакт со статистич. механикой), либо как систему аналитич. функций многих комплексных переменных (при изучении аналитич. свойств S-матрицы), либо же рассматривать его с точки зрения С*-алгебр и теории представлений. В первых работах по К. к. т. п. использовались в основном средства функционального анализа. Релятивистское квантовое поле в 2-мерном пространстве-времени, удовлетворяющее аксиомам Уайтмана, впервые удалось построить [8], только используя евклидову формулировку [9] к. т. п., позволившую привлечь методы теории вероятностей и статистич. механики. Релятивистское квантовое поле полностью характеризуется последовательностью своих функций Уайтмана Wn(x1,..., х п). Эквивалентная евклидова формулировка к. т. п. дается последовательностью функций Швингера Sn(x1,..., х п)(они получаются из Wn аналитич. продолжением в евклидовы точки [img: http://localhost:8080/file/021234-66.jpg] x2,...)), удовлетворяющих аксиомам Остервальдера - Шрадера (ОШ). При некоторых дополнительных предположениях можно доказать, что Sn являются моментами вероятностной меры, обладающей специальными свойствами. Способ построения моделей к. т. п., при к-ром сначала строится вероятностная мера, а затем проверяются аксиомы ОШ для ее моментов, оказался наиболее удобным и является общепринятым. В простейшем случае одного скалярного поля рассматривается измеримое пространство [img: http://localhost:8080/file/021234-67.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021234-68.jpg] - пространство обобщенных функций умеренного роста, [img: http://localhost:8080/file/021234-69.jpg] есть s-алгебра, генерируемая цилиндрическими множествами, и класс вероятностных мер mна [img: http://localhost:8080/file/021234-70.jpg] обладающих следующими специальными свойствами. 1) На [img: http://localhost:8080/file/021234-71.jpg] задано естественное представление связной компоненты единицы Gевклидовой группы движений Rd автоморфизмами s-алгебры [img: http://localhost:8080/file/021234-72.jpg] Требуется, чтобы мера и была G-инвариантна. Это условие есть евклидово выражение релятивистской инвариантности. 2) Пусть Ф(f) - непосредственно заданное обобщенное случайное поле на [img: http://localhost:8080/file/021234-73.jpg] т. е. Ф (f)(w)=w(f), [img: http://localhost:8080/file/021234-74.jpg] Для любой функции F(w). на [img: http://localhost:8080/file/021234-75.jpg] определяется Fq(w)=F(wq), где wq(f)=w(fq), fq(x1,..., xd)=f(x1,..., -xd). Пусть [img: http://localhost:8080/file/021234-76.jpg] - а-алгебра, генерируемая функциями Ф(f) с supp fМ {x О Rd, xd>0). Требуется выполнение условия положительности ОШ: [img: http://localhost:8080/file/021234-77.jpg] для любой [img: http://localhost:8080/file/021234-78.jpg] -измеримой функции Fна [img: http://localhost:8080/file/021234-79.jpg] Это условие выражает положительную определенность скалярного произведения в релятивистском гильбертовом пространстве. Для двумерных моделей широко используется несколько более сильное условие марковости поля Ф(f). 3) Требуется существование нормы [img: http://localhost:8080/file/021234-80.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/021234-81.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/021234-82.jpg] равномерно ограничена [img: http://localhost:8080/file/021234-83.jpg] и непрерывна по норме [img: http://localhost:8080/file/021234-84.jpg] на 4) Подгруппа трансляций группы Gдолжна действовать эргодически. Это есть выражение единственности вакуума в релятивистской теории. Если мера m удовлетворяет условиям 1-4, то она называется квантовой мерой, а соответствующее обобщенное случайное поле Ф (f) наз. евклидовым полем. Моменты квантовой меры [img: http://localhost:8080/file/021234-85.jpg] - функции Швингера, удовлетворяют аксиомам ОШ. Существует единственное релятивистское квантовое поле, удовлетворяющее всем аксиомам Уайтмана, такое, что аналитич. родолжение его функций Уайтмана в евклидовы точки совпадает с функциями Швингера данной квантовой Mepы m. Если некоторая мера m удовлетворяет лишь условиям 1-3, то для всех ее эргодич. компонент выполняются условия 1-4. Один класс квантовых мер строится легко - это гауссовы меры (зависящие от параметра m>0) с характеристич. функционалом [img: http://localhost:8080/file/021234-86.jpg] здесь D - оператор Лапласа (при [img: http://localhost:8080/file/021234-87.jpg] допускается m=0). Соответствующее евклидово поле называют свободным (скалярным) евклидовым полем массы т. Построение негауссовых мер представляет большие трудности, и результаты существенно зависят от размерности d. Обычная процедура следующая. Строится нек-рая функция [img: http://localhost:8080/file/021234-88.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/021234-89.jpg] (потенциал взаимодействия), зависящая от параметров L, наз. объемным обрезанием, и x, наз. ультрафиолетовым обрезанием. Эвристически [img: http://localhost:8080/file/021234-90.jpg] (см. Квантовая теория поля). Желательно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/021234-91.jpg] обладала свойствами аддитивного функционала. Затем строится мера [img: http://localhost:8080/file/021234-92.jpg] (определение [img: http://localhost:8080/file/021234-93.jpg] см. ниже) и изучаются пределы последовательности мер [img: http://localhost:8080/file/021234-94.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021234-95.jpg] Для некоторых потенциалов V(каких именно - определяется из физнч. соображений; вид Vи задает модель) предельная мера m будет удовлетворять условиям 1-4. Сходимость мер обычно понимается в смысле сходимости всех моментов и характеристич. функционалов. Напр., для модели со взаимодействием lФ 4 при d=2 эта процедура конкретизируется следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021234-96.jpg] - гауссова мера на [img: http://localhost:8080/file/021234-97.jpg] с характеристич. функционалом [img: http://localhost:8080/file/021234-98.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021234-99.jpg] - самосопряженное расширение оператора Лапласа с нек-рыми краевыми условиями на границе [img: http://localhost:8080/file/021234-100.jpg] области Л на плоскости [img: http://localhost:8080/file/021234-101.jpg] (обычно [img: http://localhost:8080/file/021234-102.jpg] - прямоугольник); ядром (-DL+m2)-1(x, у)может быть, например, функция Грина для задачи Дирихле. Пусть, далее, [img: http://localhost:8080/file/021234-103.jpg] и" [img: http://localhost:8080/file/021234-104.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021234-105.jpg] Случайная величина Ф x (х)=Ф (hx(x-.))при [img: http://localhost:8080/file/021234-106.jpg] является гладкой функцией параметра [img: http://localhost:8080/file/021234-107.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/021234-108.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021234-109.jpg] Положим [img: http://localhost:8080/file/021234-110.jpg] где: Ф 4x (х):виковская степень случайной величины Ф x(x) (см. Фока пространство). Тогда [img: http://localhost:8080/file/021234-111.jpg] Пусть, наконец, [img: http://localhost:8080/file/021234-112.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/021234-113.jpg] все моменты и характеристич. функционалы мер [img: http://localhost:8080/file/021234-114.jpg] сходятся к моментам и характеристич. функционалу нек-рой квантовой меры m. Оказывается, что при достаточно больших l. меры [img: http://localhost:8080/file/021234-115.jpg] с разными краевыми условиями на [img: http://localhost:8080/file/021234-116.jpg] имеют, вообще говоря, разные пределы при [img: http://localhost:8080/file/021234-117.jpg] В этом случав говорят, что имеет место фазовый переход. Задача К. к. т. п. состоит в том, чтобы описать все квантовые меры (фазы), отвечающие данному потенциалу взаимодействия, и исследовать свойства соответствующих релятивистских квантовых полей. В первую очередь интересуются спектральными свойствами оператора массы группы Пуанкаре (его изучение сводится к рассмотрению поведения функций Швингера на больших расстояниях) и свойствами S-матрнцы - аналитичность, унитарность и другие (S-матрица изучается при помощи аналитического продолжения функций Швингера). Существование квантовых мер при d=2 доказано (1978) для потенциалов взаимодействия V=P (Ф), P- любой полуограниченный снизу полином, V=lcos gФ (уравнение синус-Гордона) и нек-рых других неполиномиальных взаимодействий, а также для нек-рых многокомпонентных полей [img: http://localhost:8080/file/021234-118.jpg] Для полиномиального достаточно слабого взаимодействия начато изучение спектра массового оператора в зависимости от вида полинома и установлено существование S-матрнцы. Исследуется также взаимодействие Юкавы фермионных и скалярных полей. Евклидово фермионное поле не является обобщенным случайным полем, оно принимает значения в алгебре Грассмана. Однако по фермионным переменным можно "проинтегрировать", и задача сводится к оценкам нек-рых континуальных интегралов по обычным гауссовым мерам. Все эти модели при нек-рых значениях параметров имеют фазовые переходы. Описанная выше конструкция релятивистских квантовых полей приводит только к так называемым вакуумным секторам, т. е. к квантовым полям, удовлетворяющим аксиомам Уайтмана, включая существование вакуума. Эти поля являются решением нелинейных уравнений с простейшими начальными условиями. Для ряда 2-мерных моделей (синус-Гордона и др.) построены солитонные сектора, у которых вакуум отсутствует, но которые имеют весьма интересный с физич. точки зрения спектр оператора массы. Эти новые сектора строятся при помощи специальных автоморфизмов С*-алгебры, наблюдаемых в вакуумном секторе. При d=3 доказано существование квантовых мер для модели с [img: http://localhost:8080/file/021234-119.jpg] взаимодействием, где [img: http://localhost:8080/file/021234-120.jpg] Потенциал взаимодействия здесь имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021234-121.jpg] где d т x и С x, L - некоторые определенные функции от х и Л, т. е. добавлены контрчлены. В этой модели также происходит фазовый переход при достаточно больших l, причем он сопровождается нарушением O(N)-симметрии.