Контрагредиентное представление

к представлению j группы Gв линейном пространстве V- представление j* этой же группы Gв двойственном к Vпространстве V*, определяемое правилом: [img: http://localhost:8080/file/021238-22.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/021238-23.jpg] где * означает переход к сопряженному оператору. Более общо, если W- линейное пространство над тем же полем к, что и пространство V, а (,) - невырожденная билинейная форма (спаривание) на [img: http://localhost:8080/file/021238-24.jpg] со значениями в к, то представление y группы Gв Wназ. К. п. к представлению j относительно формы (,), если [img: http://localhost:8080/file/021238-25.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/021238-26.jpg] Напр., если G- полная линейная группа конечномерного пространства V, то естественное представление Gв пространстве коварнантных тензоров фиксированного ранга на Vявляется К. п. относительно канонического спаривания к естественному представлению Gв пространстве контравариантных тензоров того же ранга на V. Пусть Vконечномерно над ки (е)- его базис, а (f) - дуальный к (е)базис в V*. Тогда для любого gиз Gматрица оператора j* (g)в базисе (f) получается из матрицы оператора j (g)в базисе (е)транспонированием и переходом к обратной. Если j неприводимо, то и j* неприводимо. Если G- группа Ли с алгеброй Ли g, a djи dy - представления алгебры g, индуцированные соответственно представлениями ф и y группы Gв пространствах Vи W, контрагредиентными относительно спаривания (,), то [img: http://localhost:8080/file/021238-27.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/021238-28.jpg] Представления алгебры Ли g, удовлетворяющие условию (*), также наз. К. п. относительно (,). Пусть далее G- комплексная связная односвязная полупростая группа Ли и ф - ее неприводимое конечномерное представление в линейном пространстве V. Веса представления ф* противоположны весам представления j (см. Вес представления), младший вес представления j* противоположен старшему весу представления j (см. Картана теорема о старшем векторе). Представления j и j* эквивалентны тогда и только тогда, когда на Vсуществует ненулевая инвариантная относительно j(G)билинейная форма. Если такая форма существует, то она невырождена и либо симметрична, либо кососимметрична. Набор числовых отметок старшего веса представления j* получается из набора числовых отметок представления ф применением подстановки, индуцированной следующим автоморфизмом v схемы простых корней А группы G: а) v переводит каждую связную компоненту Di, i=1,..., l, схемы D в себя; б) если Di - схема типа А r, D2r+1 или E6 то сужение v на Di однозначно определяется как единственный элемент второго порядка в группе автоморфизмов схемы Di, в остальных случаях сужение v на Di тождественно.