Конформный радиус

области - характеристика конформного отображения односвязной области, определяемая следующим образом. Пусть D- односвязная область плоскости z, имеющая более одной граничной точки. Пусть z0- точка D. Если [img: http://localhost:8080/file/021241-20.jpg] то существует единственная функция w=f(z), регулярная в D, нормированная условиями f(z0) =0, f'(z0)=1 и однолистно отображающая область Dна круг |w|<r. Радиус r=r(z0, D)указанного круга наз. К. р. области В в точке z0. Если [img: http://localhost:8080/file/021241-21.jpg] то существует единственная функция w=f(z), регулярная в области Dза исключением точки беск., в окрестности к-рой она имеет [img: http://localhost:8080/file/021241-22.jpg] разложение в ряд Лорана вида и однолистно отображающая Dна область w>r. В этом случае величина [img: http://localhost:8080/file/021241-23.jpg] наз. К. р. области Dв точке [img: http://localhost:8080/file/021241-24.jpg] К. р. области D, [img: http://localhost:8080/file/021241-25.jpg] в точке беск. равен трансфинитному диаметру границы Собласти D, или емкости множества С. Расширением понятия К. р. области на случай произвольной области Dкомплексной плоскости, z является понятие внутреннего радиуса области Dв точке [img: http://localhost:8080/file/021241-26.jpg] (в зарубежной литературе термин "внутренний радиус" употребляется и в случае односвязной области). Пусть D- область комплексной плоскости z, z0 - точка Dи пусть существует функция Грина g(z,z0) области Dс полюсом в точке z0. Пусть g-постоянная Робэна области Dотносительно точки z0: [img: http://localhost:8080/file/021241-27.jpg] Величина r=eV наз. внутренним радиусом области Dв точке z0. Если D- односвязная область, граница к-рой содержит не менее двух точек, то внутренний радиус области Dв точке [img: http://localhost:8080/file/021241-28.jpg] равен К. р. области Dв точке z0. Внутренний радиус области не убывает с расширением области: если области D, D1 имеют функции Грина g(z,z0), g1(z, z0) соответственно, [img: http://localhost:8080/file/021241-29.jpg] п если [img: http://localhost:8080/file/021241-30.jpg] то для внутренних радиусов r, r1 областей D, D1 в точке z0 справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/021241-31.jpg] Внутренний радиус произвольной области Dв точке [img: http://localhost:8080/file/021241-32.jpg] определяется как точная верхняя граница множества внутренних радиусов в точке z0 всех областей, содержащих z0, содержащихся вид имеющих функцию Грина. В соответствии с этим определением, если область Dне обладает функцией Грина, то внутренний радиус r области Dв точке [img: http://localhost:8080/file/021241-33.jpg] равен [img: http://localhost:8080/file/021241-34.jpg]