Конформных отображении граничные свойства

- свойства функций, конформно отображающих одну область комплексной плоскости на другую, проявляющиеся вблизи границы отображаемой области и на самой границе. К числу таких свойств относятся: возможность непрерывного продолжения функции w=f(z), конформно отображающей рассматриваемую область G, на область G2, в нек-рую точку Z, границы Т 1 области G1 или на всю границу Г 1 этой области; характер разрыва в случае невозможности такого продолжения; наличие конформности продолженного отображения в граничных точках [img: http://localhost:8080/file/021241-35.jpg] дифференциально-гладкостные свойства продолженной функции на Г 1 и на замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/021241-36.jpg] принадлежность производной /' (z), [img: http://localhost:8080/file/021241-37.jpg] отображающей функции к различным классам функций, аналитических в G1, и т. п. Эти свойства изучаются в зависимости от свойств границ областей G1 и G2. Из самых общих К. о. г. с. можно выделить следующее: каковы бы ни были односвязные области G1 и G2 и однолистное конформное отображение w=f(z)области G1 на G2, это отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между граничными элементами этих областей в том смысле, что класс всех эквивалентных путей, лежащих в области G1 и определяющих нек-рый граничный элемент z области G1, переходит при этом отображении в класс всех эквивалентных путей, лежащих в области G2 и определяющих нек-рый граничный элемент со области G2 (обратное отображение z=f-1(w), [img: http://localhost:8080/file/021241-38.jpg] переводит класс эквивалентных путей, определяющих со, в класс эквивалентных путей, определяющих z). При этом в специальной топологии f задает гомеоморфизм области G2 с присоединенными ее граничными элементами (рассматриваемыми наряду с точками [img: http://localhost:8080/file/021241-39.jpg] как точки топологич., пространства) на область G2 с присоединенными граничными элементами. Обычно рассматривается случай, когда одна из областей G1,G2 является единичным кругом D= {z: |z|<1} (реже полуплоскостью или углом), общий же случай сводится к этому частному случаю. Пусть w=f(z)- однолистное конформное отображение круга Dс границей С= {z:|z| = l} на ограниченную односвязную область G с границей Г, z=j(w)- обратное конформное отображение: cp(/(z)) = z при [img: http://localhost:8080/file/021241-40.jpg] Имеют место следующие результаты. 1) Для того чтобы отображение w=f(z)непрерывно продолжалось в точку [img: http://localhost:8080/file/021241-41.jpg] необходимо и достаточно, чтобы граничный элемент области G, соответствующий точке z при этом отображении, был граничным элементом 1 рода (т. е. состоял из единственной точки). Для непрерывной продолжимости функции z=j(w) в точку [img: http://localhost:8080/file/021241-42.jpg] необходимо и достаточно, чтобы со входила в состав лишь одного граничного элемента (точнее, в состав лишь одного носителя граничного элемента области G). Если Г - замкнутая жорданова кривая, то fнепрерывно продолжается на С, а j - на Г, так что продолженные функции осуществляют взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение (гомеоморфизм) замкнутых областей [img: http://localhost:8080/file/021241-43.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021241-44.jpg] друг на друга. Всюду ниже Г обозначает жорданову кривую и предполагается, что функции f и j уже продолжены по непрерывности на С и Г соответственно. 2) Если Г - замкнутая жорданова спрямляемая кривая, то граничные функции f(z), [img: http://localhost:8080/file/021241-45.jpg] и j(w)), [img: http://localhost:8080/file/021241-46.jpg] являются абсолютно непрерывными. Таким образом, отображения w=f(z), [img: http://localhost:8080/file/021241-47.jpg] и z=j(w), [img: http://localhost:8080/file/021241-48.jpg] переводят граничные множества меры нуль в граничные множества меры нуль. Функция f(z)имеет конечную ненулевую производную относительно замкнутого круга Dпочти в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/021241-49.jpg] а функция j(w) имеет конечную ненулевую производную почти в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/021241-50.jpg] Следовательно, эти отображения обладают свойством конформности (т. е. свойством постоянства растяжений и сохранения углов) почти в каждой граничной точке соответствующей области. Функция f' (z) принадлежит классу Харди Н 1. 3) Пусть Г - спрямляемая жорданова замкнутая кривая со свойством: для любой пары различных точек [img: http://localhost:8080/file/021241-51.jpg] отношение длины меньшей из дуг, на к-рые эти точки разбивают кривую Г, к расстоянию |w1-w2| между этими точками ограничено сверху некрой величиной d, не зависящей от w1. и w2. Тогда функция f(z) удовлетворяет на [img: http://localhost:8080/file/021241-52.jpg] условию Гёльдера порядка 2(1+d)-2. 4) Пусть Г - гладкая замкнутая жорданова кривая. Зафиксируем нек-рую точку [img: http://localhost:8080/file/021241-53.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/021241-54.jpg] <s< [img: http://localhost:8080/file/021241-55.jpg] отложим вдоль Г дугу длины |s| в положительном (при s>0) или отрицательном (при s<0) направлении обхода области G. Пусть со (s) - конец отложенной дуги, a t(s).- угол между положительным направлением действительной оси и положительным направлением касательной в точке w(s) (значение угла t(s) выбирается так, чтобы функция t(s). была непрерывной). Если при нек-ром р=0, 1,... существует производная t(p)>(s), удовлетворяющая условию Гёльдера нек-рого положительного порядка a<1, то функция f(p+1)(z) непрерывна и удовлетворяет условию Гёльдера того же порядка a. на замкнутом круге [img: http://localhost:8080/file/021241-56.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021241-57.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/021241-58.jpg] а <j(p+1)(w) непрерывна и удовлетворяет условию Гёльдера порядка а на [img: http://localhost:8080/file/021241-59.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021241-60.jpg] на G.