Корневой вектор

линейного преобразования Авекторного пространства Vнад полем k - вектор [img: http://localhost:8080/file/031201-83.jpg], лежащий в ядре линейного преобразования [img: http://localhost:8080/file/031201-84.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031201-85.jpg] п - целое положительное число, зависящее от Аи v. Число l будет непременно собственным значением преобразования A. Если при этом [img: http://localhost:8080/file/031201-86.jpg] то говорят, что v - К. в. высоты п, принадлежащей l. Понятие К. в. обобщает понятие собственного вектора преобразования А:собственные векторы - это в точности К. в. высоты 1. Множество VlK. в., принадлежащих фиксированному собственному значению l, является линейным подпространством в V, инвариантным относительно А. Оно наз. корневым подпространством, принадлежащим собственному значению К. К. в., принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы; в частности, [img: http://localhost:8080/file/031201-87.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031201-88.jpg] Пусть Vконечномерно. Если все корни характери-стич. многочлена преобразования Алежат в k(напр., когда kалгебраически замкнуто), то Vраскладывается в прямую сумму различных корневых подпространств: [img: http://localhost:8080/file/031201-89.jpg] Это разложение является частным случаем весового разложения векторного пространства Vотносительно расщепляемой нильпотентной алгебры Ли Lлинейных преобразований: алгеброй Lв этом случае служит одномерная подалгебра, порожденная преобразованием Ав алгебре Ли всех линейных преобразований пространства V(см. Вес представления). Если в нек-ром базисе матрица преобразования Аявляется жордановой матрицей, то компоненты разложения (*) могут быть описаны следующим образом: корневое подпространство Vl, есть линейная оболочка множества тех векторов базиса, к-рые отвечают жордановым клеткам с собственным числом l.