Кортевега - де фриса уравнение

КдФ-уравнение,- уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/031202-153.jpg] предложено Д. Кортевегом и Г. де Фрисом [1] для описания распространения волн на мелкой воде. Оно может быть проинтегрировано с помощью метода обратной задачи теории рассеяния, к-рый основан на представлении К.- де Ф. у. в виде [img: http://localhost:8080/file/031202-154.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031202-155.jpg] - одномерный оператор Шрёдингера, а [img: http://localhost:8080/file/031202-156.jpg] Для К.- де Ф. у. однозначно разрешима задача Коши в классе быстроубывающих функций с начальным условием: [img: http://localhost:8080/file/031202-157.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/031202-158.jpg] - пространство Шварца). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031202-159.jpg] - данные рассеяния для оператора Шрёдингера с потенциалом и(х). Тогда [img: http://localhost:8080/file/031202-160.jpg] и решение и(х, t).определяется по данным рассеяния s(t).с помощью нек-рого интегрального уравнения. В случае [img: http://localhost:8080/file/031202-161.jpg] последнее уравнение явно решается; возникающие таким образом потенциалы наз. безотражательными, а соответствующие решения К.- де Ф. у.- n-солитонными (см. Солитон). К.- де Ф. у. записывается в гамильтоновом виде [img: http://localhost:8080/file/031202-162.jpg] здесь фазовым пространством является пространство [img: http://localhost:8080/file/031202-163.jpg] а скобки Пуассона задаются билинейной формой оператора [img: http://localhost:8080/file/031202-164.jpg] Отображение [img: http://localhost:8080/file/031202-165.jpg] представляет собой каноническое преобразование к переменным типа действие - угол. В новых переменных гамильтоновы уравнения явно интегрируются, и их решение дается указанными выше формулами. К,- де Ф. у. обладает бесконечным набором интегралов движения: [img: http://localhost:8080/file/031203-1.jpg] Все эти интегралы движения находятся в инволюции, и порождаемые ими гамильтоновы системы (так наз. высшие уравнения Кортевега - де Ф р и с а) вполне интегрируемы. С помощью интегральных уравнений обратной задачи также находится решение задачи Коши для начального данного типа ступеньки: [img: http://localhost:8080/file/031203-2.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/031203-3.jpg] в окрестности фронта решение и(х, t).распадается на невзаимодействующие солитоны - происходит распад ступеньки. В случае задачи Коши с периодическим начальным условием [img: http://localhost:8080/file/031203-4.jpg] аналогом безотражательных потенциалов являются потенциалы, для к-рых оператор Шрёдингера имеет конечное число запрещенных зон,- конечнозонные потенциалы. Периодические и почти периодические конечнозонные потенциалы являются стационарными решениями высших К.- де Ф. у.; последние представляют собой вполне интегрируемые конечномерные гамильтоновы системы. Произвольный периодич. потенциал аппроксимируется конечнозонными. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031203-5.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031203-6.jpg] - края зон; а Г - гиперэллиптнческая кривая [img: http://localhost:8080/file/031203-7.jpg] над полем С. Тогда действительнозначные почти периодические потенциалы с указанными краями зон, а также решения задачи Коши выражаются через q-функции на многообразии Якоби J(Г).кривой Г. При определенных соотношениях на края зон полученные решения будут периодическими. Если отказаться от условий [img: http://localhost:8080/file/031203-8.jpg] то получатся комплекснозначные (возможно с полюсами) решения К.- де Ф. у., к-рые также наз. конечнозонными.