Кососимметрическая билинейная форма

антисимметрическая билинейная форма,- билинейная форма f на унитарном А-модуле V(где А - коммутативное кольцо с единицей), удовлетворяющая условию: [img: http://localhost:8080/file/031204-2.jpg] Строение любой К. б. ф. f на конечномерном векторном пространстве Vнад полем характеристики [img: http://localhost:8080/file/031204-3.jpg] полностью определяется ее индексом Витта w(f) (см. Bumma теорема, Витта разложение). А именно, Vбудет ортогональной (относительно f) прямой суммой ядра [img: http://localhost:8080/file/031204-4.jpg] формы f и подпространства размерности 2w(f), на к-ром сужение формы f является нейтральной формой. Две К. б. ф. на Vизометричны тогда и только тогда; когда их индексы Витта равны между собой. В частности, невырожденная К. б. ф. нейтральна, а размерность пространства Vв этом случае четна. Для любой К. б. ф. f на Vсуществует базис е 1,..., е п, в к-ром матрица формы f имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031204-5.jpg] где m-w(f), а Е т - единичная матрица порядка т. Матрица К. б. ф. в произвольном базисе кососиммет-рична. Поэтому указанные выше свойства К. б. ф. могут быть сформулированы и следующим образом: для любой кососимметрич. матрицы М над полем характеристики [img: http://localhost:8080/file/031204-6.jpg] найдется такая невырожденная матрица Р, что [img: http://localhost:8080/file/031204-7.jpg] МР имеет вид (*). В частности ранг матрицы Мчетен, а определитель кососимметрич. матрицы нечетного порядка равен 0. В случае поля характеристики 2 перечисленные утверждения сохраняют силу, если заменить условие кососимметричности формы f более сильным условием знакопеременности: f(v, v)=Q для любых [img: http://localhost:8080/file/031204-8.jpg] (для полей характеристики [img: http://localhost:8080/file/031204-9.jpg] эти условия эквивалентны). Эти результаты допускают обобщение на случай, когда А - коммутативное кольцо главных идеалов, V - свободный А-модуль конечной размерности и f - знакопеременная билинейная форма на V. А именно, в этих условиях существует такой базис е 1,..., е п модуля Vи целое неотрицательное число [img: http://localhost:8080/file/031204-10.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031204-11.jpg] а i делит [img: http://localhost:8080/file/031204-12.jpg] при i=1,..., т-1, а в остальных случаях [img: http://localhost:8080/file/031204-13.jpg] Идеалы [img: http://localhost:8080/file/031204-14.jpg] однозначно определяются указанными условиями, а модуль [img: http://localhost:8080/file/031204-15.jpg] порождается элементами [img: http://localhost:8080/file/031204-16.jpg] Определитель знакопеременной матрицы нечетного порядка равен 0 для любого коммутативного кольца А с единицей. В случае, когда порядок знакопеременной матрицы Мнад Ачетен, элемент [img: http://localhost:8080/file/031204-17.jpg] является квадратом в А(см. Пфаффиан).