Кос теория

- раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы, составленные из их классов эквивалентности, и различные обобщения этих групп [1]. Коса из пнитей - объект, состоящий из двух параллельных плоскостей Р 0 и Р 1 в трехмерном пространстве R3, содержащих упорядоченные множества точек [img: http://localhost:8080/file/031203-13.jpg] и из га простых дуг l1,..., l п, пересекающих каждую параллельную плоскость Pt между Р 0 и Р 1, однократно и соединяющих точки { а i} с точками [img: http://localhost:8080/file/031203-14.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031203-15.jpg] Считается, что а,- лежат на прямой La в Р й, точки bi- на прямой Lb в Р 1, параллельной La, причем ft,- расположены под а i для каждого г (см. рис. 1). Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через [img: http://localhost:8080/file/031203-16.jpg] эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны. Нить li косы w соединяет и определяет подстановку [img: http://localhost:8080/file/031203-17.jpg] Если эта подстановка тождественна, то w наз. крашеной (или чистой) косой. Транспозиции (i i+1) отвечает простейшая коса si (см. рис. 2). Во множестве всех кос с пнитями и с фиксированными P0. P1, {ai}, (bi} вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами [img: http://localhost:8080/file/031203-18.jpg] где П - область между Р 0 и P1, тождественными на [img: http://localhost:8080/file/031203-19.jpg] к-рые можно считать такими, что h(Pt)=Pt. Косы а и Р эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм hи [img: http://localhost:8080/file/031203-20.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031203-31.jpg] Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос В(п).относительно операции, определяемой следующим образом. Экземпляр П' области П помещается над другим экземпляром П" так, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031203-21.jpg] совпала с [img: http://localhost:8080/file/031203-22.jpg] а затем [img: http://localhost:8080/file/031203-23.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031203-24.jpg] сжимается вдвое. Образы кос [img: http://localhost:8080/file/031203-25.jpg] дают косу [img: http://localhost:8080/file/031203-26.jpg] нить li к-рой получается продолжением li с помощью [img: http://localhost:8080/file/031203-27.jpg] Единичная коса - класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков, коса w-1, обратная косе w, определяется отражением в плоскости Р 1/2. Условие [img: http://localhost:8080/file/031203-28.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031203-29.jpg] - на рис. 3. Отображение [img: http://localhost:8080/file/031203-30.jpg] определяет эпиморфизм В(п).на группу S(п).перестановок пэлементов, ядром к-рого является подгруппа К(п), соответствующая всем чистым косам, так что имеется точная последовательность [img: http://localhost:8080/file/031203-32.jpg] Группа кос В(п).имеет две основные интерпретации. Первая - пространство конфигурации - получается отождествлением плоскостей Р t с помощью вертикальной проекции на Р 0, при к-рой образы точек при изменении tот 0 до 1 образуют след изотопии [img: http://localhost:8080/file/031203-33.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/031203-34.jpg] по [img: http://localhost:8080/file/031203-35.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031203-36.jpg] Косе однозначно соответствует класс гомотопных петель в пространстве неупорядоченных наборов G(n).из ппопарно различных точек плоскости, и имеет место изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031203-37.jpg] Для крашеных кос аналогично строится изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031203-38.jpg] где F(п) - пространство упорядоченных наборов из га различных точек плоскости, так что К(п).можно отождествить с подгруппой, отвечающей накрытию [img: http://localhost:8080/file/031203-39.jpg] Вторая - группа гомеотопий - получается продолжениями изотонии [img: http://localhost:8080/file/031203-40.jpg] до изотопии [img: http://localhost:8080/file/031203-41.jpg] плоскости Р 0 тождественной вне нек-рого диска, причем [img: http://localhost:8080/file/031203-42.jpg] При каждом tдва такие продолжения отличаются на гомеоморфизм, тождественный в точках а it. Косе однозначно соответствует компонента пространства гомеоморфизмов Y(п).плоскости, отображающих множество [img: http://localhost:8080/file/031203-43.jpg] на себя, и имеет место изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031203-44.jpg] Каждому гомеоморфизму [img: http://localhost:8080/file/031203-45.jpg] сопоставляется автоморфизм свободной группы ранга [img: http://localhost:8080/file/031203-46.jpg], определенный с точностью до внутреннего, к-рый в свою очередь дает гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031203-47.jpg] Элементы образа наз. Носовыми автоморфизмами свободной группы. В частности, косе si отвечает автоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031203-48.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031203-49.jpg] - базис Fn). Любой носовой автоморфизм а обладает свойствами: [img: http://localhost:8080/file/031203-50.jpg] с точностью до внутреннего (смысл А i - ниже), эти свойства характеризуют косовые автоморфизмы. Косы [img: http://localhost:8080/file/031203-51.jpg] являются образующими группы В (п), т. е. [img: http://localhost:8080/file/031203-52.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031203-53.jpg] Оказывается, что (1) - копредставление для В(п).(см. рис. 4). Имеет место расщепляющая точная последова- тельность (получающаяся из локально тривиального расслоения [img: http://localhost:8080/file/031203-55.jpg] со слоем [img: http://localhost:8080/file/031203-56.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031203-57.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031203-58.jpg] к-рая приводит к нормальному ряду [img: http://localhost:8080/file/031203-59.jpg] со свободными факторами [img: http://localhost:8080/file/031203-60.jpg] причем А i имеет "дополнение" Un-i, изоморфное К(п-i-1). Каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/031203-61.jpg] может быть представлен единственным образом в виде [img: http://localhost:8080/file/031203-62.jpg] где pw - выбранный представитель для [img: http://localhost:8080/file/031203-63.jpg] в В(п), а [img: http://localhost:8080/file/031203-64.jpg] Приведение косы к такой форме наз. ее причесыванием. Это решает проблему тождества в В(п). [img: http://localhost:8080/file/031203-54.jpg] Копредставление для К(п).таково: образующие (см. рис. 5) [img: http://localhost:8080/file/031203-65.jpg] соотношения [img: http://localhost:8080/file/031203-66.jpg] Оно может быть получено как копредставление ядра естественного гомоморфизма в S(п).абстрактной группы В (n), заданной копредставлением (1) с помощью Шрей ера системы [img: http://localhost:8080/file/031203-67.jpg] Центр группы B(п) - бесконечная циклич. группа, порожденная элементом [img: http://localhost:8080/file/031203-68.jpg] Коммутант В' (п).совпадает с В" (п).при [img: http://localhost:8080/file/031203-69.jpg] В'(3) изоморфна свободной группе ранга 2, а В'(4) -полупрямому произведению двух таких групп. Фактор по коммутанту - бесконечная циклич. группа, порожденная образами si. Элементы конечного порядка в В(га) отсутствуют. Группа К(п).переходит в себя при эндоморфизмах с неабелевым образом. В частности, [img: http://localhost:8080/file/031203-70.jpg] - вполне характе-ристич. подгруппа в В(n). а также и в К(п).(см. [15]). Проблема сопряженности в В(n) решается существенно сложнее проблемы тождества. Имеется единственная нормальная по Гарсайду форма косы [img: http://localhost:8080/file/031203-71.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031203-72.jpg] - так наз. элемент Гарсайда, W - положительная, т. е. имеющая запись через si с положительными показателями, коса. Косе w конечным числом операций, определяемых по i(сопряжение с нек-рыми элементами, выбор элементов максимальной степени и т. п.), сопоставляется нек-рое множество слов [img: http://localhost:8080/file/031203-73.jpg] из к-рого выбирается слово в нормальной форме [img: http://localhost:8080/file/031203-74.jpg] с минимальным Т. Это - так наз. верхняя форма косы w. Оказывается, что две косы сопряжены тогда и только тогда, когда их верхние формы совпадают (см. [7]). Представление Бурау группы кос В(п).в группу матриц над кольцом целочисленных многочленов одной переменной определяется соответствием: [img: http://localhost:8080/file/031203-75.jpg] где Ik - единичная матрица порядка k. Матрица [img: http://localhost:8080/file/031203-76.jpg] есть приведенная матрица Александера (см. Александера инварианты).зацепления, полученного замыканием косы w (см. ниже). Для крашеной косы из аналогичной матрицы Гаснера получается полная матрица Александера. Проблема точности этих представлений не решена (1982) (см. [2]). То, что пространства F(п).и G(n).асферичны, дает возможность вычислить гомологии групп кос. Гомологии К(п).(см. [16]): гомологически К(п).совпадает с произведением букетов окружностей, в к-рых число окружностей увеличивается от одной до n-1. Кольцо когомологий изоморфно внешнему градуированному кольцу, порожденному одномерными элементами [img: http://localhost:8080/file/031203-77.jpg] с соотношениями [img: http://localhost:8080/file/031203-78.jpg] В качестве wrl можно взять формы [img: http://localhost:8080/file/031203-79.jpg] отвечающие обходу диагоналей [img: http://localhost:8080/file/031203-80.jpg] Гомологии В(п).(см. [8], [12]): гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031203-81.jpg] может быть продолжен вложением [img: http://localhost:8080/file/031203-82.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031203-83.jpg]; индуцированный гомоморфизм в когомологиях [img: http://localhost:8080/file/031203-84.jpg] эпиморфен, т. е. когомологии mod 2 группы В(п).порождаются классами Штифеля- Уитни. Имеется естественное отображение G(n) в [img: http://localhost:8080/file/031203-85.jpg] - пространство сфероидов [img: http://localhost:8080/file/031203-86.jpg] (вокруг и точек берутся малые диски, к-рые канонически со степенью I отображаются в сферу, а все дополнение - в точку). Это отображение (см. [14]) устанавливает гомологич. эквивалентность предельного пространства [img: http://localhost:8080/file/031203-87.jpg] (индекс означает, что берется компонента сфероидов степени 0). Относительно нестабильных групп гомологии В(п).доказано [16], что они конечны, стабилизируются с ростом и и имеется правило повторения [img: http://localhost:8080/file/031203-88.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031203-89.jpg] Дано [17] описание вычисления этих групп. Приложения и обобщения. 1) Замкнутой косой наз. зацепление (n-компонентный узел).в R3, каждая компонента к-рого трансверсально пересекает полуплоскости, ограниченные одной и той же прямой - осью Iзамкнутой косы (см. рис. 6). Коса порождает замкнутую косу [img: http://localhost:8080/file/031203-90.jpg] (замыкание w) следующим образом. Цилиндр с основаниями на P0 и P1, содержащий внутри себя w, изгибается в R3 так, что образующие переходят в окружности с центрами на прямой l, а основания совмещаются и каждая точка а i, совпадает с bi. Тогда объединение нитей li перейдет в [img: http://localhost:8080/file/031203-91.jpg] Обратно, каждое зацепление в R3 может быть представлено замкнутой косой. Эквивалентным косам отвечают изотопные зацепления и, более того, сопряженные косы дают изотопные зацепления. Обратное неверно, так как зацепление может быть представлено косами с разным числом нитей. Кроме того, косы [img: http://localhost:8080/file/031203-92.jpg] не сопряжены в В(п), но отвечают изотопным зацеплениям. Если две замкнутые косы эквивалентны как зацепления, то они могут быть получены одна из другой цепочкой элементарных преобразований двух типов (см. рис. 7). Эти операции интерпретируются в терминах копредставлений группы зацеплений, что дает алгебраич. переформулировку проблемы изотопности зацеплений в виде вопроса о системе групп В(п). Копредставление группы зацепления [img: http://localhost:8080/file/031203-93.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031203-94.jpg] где соотношения определены косовым автоморфизмом bw. Обратно, каждое такое соотношение определяет косу. 2) Если разрезать поверхность рода gспомощью gнепересекающихся сечений так, что получится сфера с 2g дырами, то гомеоморфизмы этой сферы с дырами, оставляющие на месте точки на краях дыр, определяют гомеоморфизмы поверхности, неподвижные на сечениях, и сами определяются с точностью до изотонии элементами группы K(2g). Это дает представление группы кос в группе гомеотопий поверхности. Аналогично строится и представление В(2g). Эти представления используются при изучении диаграмм Хегора трехмерных многообразий. 3) Отождествлением R2 с комплексной прямой С 1 и сопоставлением неупорядоченному набору из " точек плоскости многочлена степени п, имеющего эти точки своими корнями, получается возможность отождествить [img: http://localhost:8080/file/031203-95.jpg] G(n).с пространством многочленов с ненулевым дискриминантом. Так, этот факт позволил получить ряд результатов о непредставимости алгебраич. функций суперпозицией функций от меньшего числа переменных (см. [16]). 4) Пространства конфигураций для любого пространства Xопределяются аналогично G(п).и F(п).с заменой R2 на X. Фундаментальные группы этих пространств В(X).и К(X).наз. группами кос пространства Xи чистых кос соответственно. Для многообразия М n размерности больше [img: http://localhost:8080/file/031203-96.jpg], и эти группы интереса не представляют. Для двумерного многообразия имеется естественное вложение В(п).и К(п).в В n(М 2).и К п(М 2), индуцированное вложением [img: http://localhost:8080/file/031203-97.jpg] Для М 2, отличного от сферы и проективной плоскости, получается точная последовательность [img: http://localhost:8080/file/031203-98.jpg] для сферы гомоморфизм еявляется эпиморфизмом, полученным добавлением к (1) еще одного соотношения [img: http://localhost:8080/file/031203-99.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031203-100.jpg] 5) Если [img: http://localhost:8080/file/031203-101.jpg] есть fc-листное накрытие, то [img: http://localhost:8080/file/031203-102.jpg] где а - петля в Y, является петлей в пространстве конфигураций X, чем определяется гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031203-103.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031203-104.jpg] к-рый усиливает монодромию накрытия и находит применение в алгебраич. геометрии. 6) Пусть [img: http://localhost:8080/file/031203-105.jpg] - комплексификация действительного векторного пространства V,a W - конечная неприводимая группа, порожденная отражениями, действующая в V (и, следовательно, в [img: http://localhost:8080/file/031203-106.jpg]). Пусть si - порождающие отражения в плоскостях [img: http://localhost:8080/file/031203-107.jpg] и D - их объединение. Пусть, наконец, [img: http://localhost:8080/file/031203-108.jpg] - факторпространство. Группы [img: http://localhost:8080/file/031203-109.jpg] наз. группами Брискорна, они естественно обобщают К(п).и В(п). Если [img: http://localhost:8080/file/031203-110.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/031203-111.jpg] имеет копредставление вида [img: http://localhost:8080/file/031203-112.jpg] где число сомножителей с каждой стороны равно т/у (а/ здесь соответствует камере Вейля). Для этих групп доказано, что XW и YW являются пространствами типа К (п,1), решена проблема сопряженности. В алгебраич. геометрии пространства Х^г появляются как дополнения к дискриминанту версальных деформаций рациональных особенностей (см. [12],[13]).