Коши-римана условия

, " Д'Аламбера - Эйлера условия,- условия на действительную и=и(х, у).и мнимую v= v(x, у).части функции комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/031206-123.jpg] обеспечивающие моногенность и аналитичность f(z) как функции комплексного переменного. Для того чтобы функция w=f(z), определенная в нек-рой области Dкомплексной плоскости z, была моногеннойвточке [img: http://localhost:8080/file/031206-124.jpg] т. е. имела производную в точке z0 как функция комплексного переменного z, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части ии vбыли дифференцируемы в точке (x0, y0) как функции действительных переменных хи у ичтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши - Римана: [img: http://localhost:8080/file/031206-125.jpg] Если К.- Р. у. выполнены, то производная f'(z) представима в любой из следующих форм: [img: http://localhost:8080/file/031206-126.jpg] Для того чтобы однозначная в области Dфункция f(z) была аналитической в D, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были дифференцируемыми функциями, удовлетворяющими К.- Р. у. всюду в D. Функции и и v класса C2(D), удовлетворяющие К.- Р. у. (1), являются, каждая по отдельности, гармоническими функциями от хи у, условия (1) суть условия сопряженности этих двух гармонич. функций: зная одну из них, вторую можно найти интегрированием. Условия (1) справедливы для любых двух ортогональных направлений s и п, ориентированных взаимно так же, как оси Ох и Оу в виде: [img: http://localhost:8080/file/031206-127.jpg] Напр., в полярных координатах (r, j) при [img: http://localhost:8080/file/031206-129.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031206-130.jpg] Введя операторы комплексного дифференцирования [img: http://localhost:8080/file/031206-131.jpg] К.- Р. у. (1) можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/031206-132.jpg] Таким образом, дифференцируемая функция [img: http://localhost:8080/file/031206-133.jpg] переменных [img: http://localhost:8080/file/031206-134.jpg] является аналитич. функцией от z тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031206-135.jpg] Для аналитич. функций многих комплексных переменных [img: http://localhost:8080/file/031206-136.jpg] К.- Р. у. записываются в виде переопределенной при n>1 системы уравнений с частными производными для функций [img: http://localhost:8080/file/031206-137.jpg] или, при помощи операторов комплексного дифференцирования, в виде: [img: http://localhost:8080/file/031206-138.jpg] Функции ии vкласса С 2, удовлетворяющие условиям (2), являются при [img: http://localhost:8080/file/031206-139.jpg] каждая по отдельности, плюригармоническими функциями от переменных [img: http://localhost:8080/file/031206-140.jpg] Плюригармонич. функции при n>1 составляют собственный подкласс класса гармонич. функций. Условия (2) суть условия сопряженности двух плюригармонич. функций ии v:зная одну из них, другую можно найти интегрированием. Условия (1) впервые, по-видимому, появились в работе Ж. Д'Аламбера [1]. В работе Л. Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 (см. [2]), условия (1) получили впервые характер общего признака аналитичности функций. О. Коши пользовался соотношениями (1) для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 (см. [3]). Знаменитая диссертация Б. Римана (В. Riemann) об основах теории функций относится к 1851 (см. [4]).