Коши интегральная теорема

если f(z) - регулярная аналитич. функция комплексного переменного z в односвязной области Dна комплексной плоскости С = С 1, то интеграл от f(z), взятый по любой замкнутой спрямляемой кривой g, расположенной в D, равен нулю, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031205-94.jpg] Эквивалентная формулировка К. и. т. утверждает, что интеграл [img: http://localhost:8080/file/031205-95.jpg] не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего фиксированные точки а и 6 в области D. Именно такой в сущности и была первоначальная формулировка К. и. т., предложенная О. Коши в 1825 (см. [1]); близкие формулировки имеются в письмах К. Гаусса (С. Gauss, 1811). Доказательство О. Коши содержало дополнительное предположение непрерывности производной f'(z); первое полное доказательство дано Э. Гурса [2]. Свойство аналитич. функций, выражаемое К. и. т., полностью характеризует последние (см. Мореры теорема), и потому из К. и. т. выводятся все основные свойства аналитич. функций. В случае произвольной области Dна плоскости С или на римановой поверхности К. и. т. может быть сформулирована так: если f(z) - регулярная аналитич. функция в области D, то интеграл от f(z) по любой спрямляемой замкнутой кривой [img: http://localhost:8080/file/031205-96.jpg] гомотопной нулю в D, равен нулю. Распространением К. и. т. на случай аналитич. функций многих комплексных переменных является теорема Коши - Пуанкаре: если f(z), z=(z1,..., zn),- регулярная аналитич. функция в области Dкомплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/031205-97.jpg] то для любой (п+1)-мерной поверхности [img: http://localhost:8080/file/031205-98.jpg] с гладкой границей [img: http://localhost:8080/file/031205-99.jpg] интеграл [img: http://localhost:8080/file/031205-100.jpg] где f(z)dz - сокращенное обозначение голоморфной дифференциальной формы [img: http://localhost:8080/file/031205-101.jpg] При п=1 поверхность Gи область Dимеют одинаковую размерность, n+1=2n (случай классической К. и. т.); при n>1 размерность Gменьше размерности D,n+1<2n. См. также Вычет, Ноши интеграл.