Коши - адамара теорема

пусть задан степенной ряд [img: http://localhost:8080/file/031206-81.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031206-82.jpg] то ряд (1) сходится только в точке z=a; если [img: http://localhost:8080/file/031206-83.jpg] то ряд (1) абсолютно сходится в круге [img: http://localhost:8080/file/031206-84.jpg] радиуса [img: http://localhost:8080/file/031206-85.jpg] и расходится вне этого круга при [img: http://localhost:8080/file/031206-86.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031206-87.jpg] то ряд (1) абсолютно сходится при всех [img: http://localhost:8080/file/031206-88.jpg] Содержание К. - А. т. выражается, таким образом, формулой Коши - Адамара (2), к-рую при этом следует понимать в расширенном смысле, включая равенства [img: http://localhost:8080/file/031206-89.jpg] Иначе говоря, содержание К.- А. т. состоит в том, что внутренность множества точек (абсолютной) сходимости ряда (1) есть круг [img: http://localhost:8080/file/031206-90.jpg] радиуса (2). В случае действительного степенного ряда (1) формула (2) определяет радиус интервала сходимости [img: http://localhost:8080/file/031206-91.jpg] В основном К.- А. т. была высказана О. Коши (A. Cauchy) в его лекциях [1], опубликованных в 1821, полную ясность в формулировку и доказательство внес Ж. Адамар [2]. Для степенных рядов [img: http://localhost:8080/file/031206-92.jpg] но n комплексным переменным [img: http://localhost:8080/file/031206-93.jpg] обобщением формулы Коши - Адамара является следующее соотношение: [img: http://localhost:8080/file/031206-94.jpg] к-рому удовлетворяют сопряженные радиусы сходимости r1..., rn ряда (3) (см. Круг сходимости). Записав соотношение (4) в виде [img: http://localhost:8080/file/031206-95.jpg] получают уравнение, определяющее границу нек-рой логарифмически выпуклой кратно круговой области с центром а, к-рая и является внутренностью множества точек абсолютной сходимости ряда (3) при n>1.