Коши - ковалевской теорема

теорема, утверждающая существование (единственного) аналитич. решения задачи Коши в малом, если функции, задающие дифференциальное уравнение или систему этих уравнений и все начальные данные вместе с их нехарактеристическим носителем, являются аналитическими. Для системы kдифференциальных уравнений с частными производными с kнеизвестными функциями [img: http://localhost:8080/file/031206-96.jpg] К. - К. т. формулируется следующим образом: задача Коши [img: http://localhost:8080/file/031206-97.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031206-98.jpg] - носитель начальных данных [img: http://localhost:8080/file/031206-99.jpg] всегда имеет и притом единственное аналитич. решение и(х, х 0). в нек-рой области W пространства переменных х 0,х, содержащей [img: http://localhost:8080/file/031206-101.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031206-102.jpg] являются аналитич. функциями всех своих аргументов. Пусть дана линейная система дифференциальных уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/031206-103.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031206-104.jpg] - вектор с неотрицательными, целочисленными координатами; [img: http://localhost:8080/file/031206-105.jpg] - порядок дифференциального оператора [img: http://localhost:8080/file/031206-106.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031206-107.jpg] - заданная квадратная матрица порядка [img: http://localhost:8080/file/031206-108.jpg], - искомый вектор-столбец; В(х).- заданный вектор с Nкомпонентами. Вообще говоря, К.- К. т. не исключает существования неаналитических, помимо аналитического, решений задачи Коши. Однако для линейной системы дифференциальных уравнений (3) с аналитич. оэффициентами [img: http://localhost:8080/file/031206-109.jpg] и условиями Коши на аналитической нехаракте-ристич. поверхности [img: http://localhost:8080/file/031206-110.jpg] задача Коши имеет не более одного решения в нек-рой окрестности [img: http://localhost:8080/file/031206-111.jpg] поверхности s.При этом не предполагается аналитичность начальных данных и решения и(х]. Решение задачи Коши (1), (2), существование к-рого гарантируется К.- К. т., может оказаться неустойчивым (т. к. малое изменение начальных данных jij(x). может вызвать сильное изменение решения), напр., в том случае, когда система (1) принадлежит эллиптич. типу. При неаналитических начальных данных задача Коши (1), (2) может потерять смысл, если не ограничиться случаем, когда система (1) является гиперболической. К.- К. т. для широкого класса уравнений обобщена на случай, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке (см. [1], [2]). В этом случае начальные функции не могут быть заданы произвольно; они должны удовлетворять определенным условиям, к-рые диктуются дифференциальным уравнением. Характеристическая задача Коши может иметь неединственное решение. В частности, имеет место следующее утверждение. Пусть Р(х, D) - дифференциальный оператор порядка тс главной частью [img: http://localhost:8080/file/031206-113.jpg] и с вещественными аналитич. оэффициентами, определенный в окрестности W точки х 0 из евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/031206-115.jpg] - вещественная аналитическая в W функция такая, что [img: http://localhost:8080/file/031206-117.jpg] но [img: http://localhost:8080/file/031206-118.jpg] для некоторого j при х=х 0. Тогда существует такая окрестность [img: http://localhost:8080/file/031206-119.jpg] точки х 0 и аналитическая при [img: http://localhost:8080/file/031206-120.jpg] функция и(х).из класса [img: http://localhost:8080/file/031206-121.jpg] что Р(х, b) и=0 и.. [img: http://localhost:8080/file/031206-122.jpg] Если начальное многообразие является характеристическим вдоль нек-рых кривых, то, вообще говоря, решение характеристич. задачи Коши многозначно в нек-рой окрестности начальной поверхности и степень ветвления определяется геометрич. природой соответствующих характеристич. поверхностей. Теорема доказана С. В. Ковалевской (1875).