Кремоново преобразование

бирациональное преобразование проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/031209-63.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031209-64.jpg] над полем k. Бирациональные преобразования плоскости и трехмерного пространства систематически изучал (начиная с 1863) Л. Кремона (L. Cremona). Группа К. п также называется его именем - группа Кремоны и обозначается [img: http://localhost:8080/file/031209-65.jpg] Простейшими примерами К. п., отличными от проективных преобразований, являются квадратичные бирациональные преобразования плоскости. В неоднородных координатах (x, у).их можно записать в виде дробно-линейных преобразований [img: http://localhost:8080/file/031209-66.jpg] Среди них выделяется так наз. стандартное квадратичное преобразование t: [img: http://localhost:8080/file/031209-68.jpg] или в однородных координатах [img: http://localhost:8080/file/031209-69.jpg] Оно является изоморфизмом вне координатных осей: [img: http://localhost:8080/file/031209-70.jpg] имеет три фундаментальные точки (точки неопределенности) (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0) и отображает в каждую из этих точек координатную ось, не содержащую эту точку. По теореме Нётера (см. Кремоны группа).над алгебраически замкнутым полем kкаждое К. п. плоскости [img: http://localhost:8080/file/031209-71.jpg] может быть представлено в виде композиции квадратичных преобразований. В теории К. п. плоскости важную роль играют нек-рые специальные классы преобразований, в частности инволюции Гейзера и инволюции Бертини (см. [1]). Инволюция Гейзера [img: http://localhost:8080/file/031209-72.jpg] определяется с помощью линейной системы кривых степени 8 на [img: http://localhost:8080/file/031209-73.jpg] проходящих с кратностью 3 через 7 точек в общем положении. Инволюция Бертини b: [img: http://localhost:8080/file/031209-74.jpg] определяется с помощью линейной системы кривых степени 17 на [img: http://localhost:8080/file/031209-75.jpg] проходящих с кратностью 6 через 8 точек в общем положении. К. п. вида [img: http://localhost:8080/file/031209-76.jpg] лаз. преобразованиями Жонкьера. Наиболее естественно они интерпретируются как бира-зщональные преобразования квадрики [img: http://localhost:8080/file/031209-77.jpg] сохраняющие проекцию на один из множителей. Теорема Нётера допускает при этом следующую переформулировку: группа [img: http://localhost:8080/file/031209-78.jpg] бирациональных автоморфизмов квадрики порождена инволюцией s и преобразованиями Жонкьера, где [img: http://localhost:8080/file/031209-80.jpg] - автоморфизм перестановки множителей. Всякий бирегулярный автоморфизм аффинного пространства [img: http://localhost:8080/file/031209-81.jpg] продолжается до К. п. пространства [img: http://localhost:8080/file/031209-82.jpg] так что [img: http://localhost:8080/file/031209-83.jpg] В случае n=2 группа [img: http://localhost:8080/file/031209-84.jpg] порождена подгруппой аффинных преобразований и подгруппой преобразований вида [img: http://localhost:8080/file/031209-85.jpg] более того, она является амальгамированным произведением этих подгрупп [5]. Как устроены группы. [img: http://localhost:8080/file/031209-86.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031209-87.jpg] ' неизвестно. Вообще, о К. п. в размерности [img: http://localhost:8080/file/031209-88.jpg] не получено к настоящему времени (1982) сколь.либо существенных результатов.