Критический идеал

- простой идеал дедекиндова кольца А, делящий дискриминант конечного сенарабельного расширения K/k, где k - поле частных кольца А. К. и. и только такие идеалы разветвлены в расширении K/k. Простой идеал р кольца А наз. разветвленным в K/k, если в целом замыкании Вкольца Ав поле Кимеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/031211-72.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031211-73.jpg] - некоторые простые идеалы кольца Ви хотя бы одно из чисел li; больше 1. Число li наз. индексом ветвления идеала [img: http://localhost:8080/file/031211-74.jpg] Если Klk - расширение Галуа с группой Галуа G(K/k], то [img: http://localhost:8080/file/031211-75.jpg] и индекс li совпадает с порядком подгруппы инерции [img: http://localhost:8080/file/031211-76.jpg] группы G(K/k). [img: http://localhost:8080/file/031211-77.jpg] Другой, более тонкой характеристикой ветвления является подгруппа высшего ветвления [img: http://localhost:8080/file/031211-78.jpg] определяемая следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/031211-79.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031211-80.jpg] согласно теореме Минковского в любом конечном расширении поля рациональных чисел [img: http://localhost:8080/file/031211-81.jpg] существуют К. и. Для произвольных полей алгебраич. чисел это не так: если поле kне одноклассно, т. е. имеет нетривиальную группу классов идеалов, то над kсуществуют неразвотвленные расширения, т. е. расширения, не имеющие критич. идеалов. Пример такого расширения - гильбертово поле классов поля k: так, поле [img: http://localhost:8080/file/031211-82.jpg] совпадает с гильбертовым полем классов поля [img: http://localhost:8080/file/031211-83.jpg] и не разветвлено над полем [img: http://localhost:8080/file/031211-84.jpg]