Кронекера теорема

пусть даны [img: http://localhost:8080/file/031211-123.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031211-124.jpg] для того чтобы при любом [img: http://localhost:8080/file/031211-125.jpg] существовали целые числа [img: http://localhost:8080/file/031211-126.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/031211-127.jpg] необходимо и достаточно, чтобы для любых таких [img: http://localhost:8080/file/031211-128.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031211-129.jpg] число [img: http://localhost:8080/file/031211-130.jpg] также было целым. Эта теорема была доказана в 1884 Л. Кронекером (см. [1]). К. т. является частным случаем следующей теоремы, описывающей замыкание подгруппы тора [img: http://localhost:8080/file/031211-131.jpg] порожденной элементами [img: http://localhost:8080/file/031211-132.jpg] это замыкание состоит в точности из таких классов [img: http://localhost:8080/file/031211-133.jpg] что для любых чисел [img: http://localhost:8080/file/031211-134.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031211-135.jpg] выполнено [img: http://localhost:8080/file/031211-136.jpg] В условиях К. т. указанное замыкание совпадает со всем Tn. Это означает, что подгруппа элементов вида [img: http://localhost:8080/file/031211-137.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031211-138.jpg] плотпа в [img: http://localhost:8080/file/031211-139.jpg] а подгруппа векторов вида [img: http://localhost:8080/file/031211-140.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031211-141.jpg] плотна в [img: http://localhost:8080/file/031211-142.jpg] К. т. можно вывести из теории двойственности для коммутативных топологических групп [3]. В случае m=1 К. т. превращается в следующее утверждение: для того чтобы класс [img: http://localhost:8080/file/031211-143.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031211-144.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031211-145.jpg] порождал Tn как топологич. группу, необходимо и достаточно, чтобы числа [img: http://localhost:8080/file/031211-146.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031211-147.jpg] были линейно независимы над полем [img: http://localhost:8080/file/031211-148.jpg] рациональных чисел. В частности, тор Tn как топологич. группа м о н о т е т и ч е н, т. е. порождается одним элементом.