Круга проблема

- проблема наилучшей асимп-тотич. оценки числа (х).целых точек (и, v).в круге [img: http://localhost:8080/file/031211-193.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031211-194.jpg] - нижняя грань числа а в равенстве [img: http://localhost:8080/file/031211-195.jpg] К. Гаусс (см. [1]) доказал, что [img: http://localhost:8080/file/031211-196.jpg] В. Серпиньский [2] по методу Г. Ф. Вороного [3] установил, что [img: http://localhost:8080/file/031211-197.jpg] Последней (1982) является оценка [img: http://localhost:8080/file/031211-198.jpg] (см. [4]). Существует гипотеза, что остаточный член в формуле (*) есть [img: http://localhost:8080/file/031211-199.jpg] Среднее значение для К. п.: [img: http://localhost:8080/file/031211-200.jpg] где С - некоторая абсолютная постоянная, [img: http://localhost:8080/file/031211-201.jpg] - любое. К. п. по содержанию и методам исследования во многом аналогична проблеме делителей Дирихле (см. Делителей проблемы). Обобщением К. п. является проблема шара - проблема оценки В(х) - числа целых точек (и, v, w).в шаре [img: http://localhost:8080/file/031211-202.jpg] Исходной для оценки является формула [img: http://localhost:8080/file/031211-203.jpg] к-рая получается за счет разбиения шара шестью плоскостями [img: http://localhost:8080/file/031211-204.jpg] на 24 части, имеющие одинаковое число целых точек, если считать точки на плоскостях сечений с коэффициентами 1/2. Главный член роста В(х).равен объему шара [img: http://localhost:8080/file/031211-205.jpg] проблема сводится к оценке [img: http://localhost:8080/file/031211-206.jpg] - величины суммы дробных долей функций, стоящих под знаком [ ] в выражении для G(x). Наиболее глубокие оценки для Р(х).получены на основе метода тригонометрич. сумм И. М. Виноградовым [5], [6]: [img: http://localhost:8080/file/031211-207.jpg] Существует гипотеза, что [img: http://localhost:8080/file/031211-208.jpg] Обобщением К. п. и проблемы шара является проблема оценки [img: http://localhost:8080/file/031211-209.jpg] - числа целых точек в n-мерных эллипсоидах [img: http://localhost:8080/file/031211-210.jpg] где F - положительно определенная квадратичная форма (см. [7]).