Круговое поле

поле деления круг а,- поле [img: http://localhost:8080/file/031211-214.jpg] получающееся присоединением к полю [img: http://localhost:8080/file/031211-215.jpg] рациональных чисел первообразного корня [img: http://localhost:8080/file/031211-216.jpg] из единицы степени га, где п - некоторое натуральное число. Иногда (локальным) круговым полем наз. также поле вида [img: http://localhost:8080/file/031211-217.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031211-218.jpg] - поле рациональных р-адических чисел. Так как [img: http://localhost:8080/file/031211-219.jpg] при нечетном n, обычно предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/031211-220.jpg] Тогда различным n соответствуют неизоморфные поля К п. К. п. естественно возникают в задаче о делении круга - деление окружности на n равных частей эквивалентно построению на комплексной плоскости первообразного корня [img: http://localhost:8080/file/031211-221.jpg] К. п, устроены "достаточно просто", и поэтому дают удобный экспериментальный материал для создания общих понятий теории чисел. Напр., понятие целого алгебраич. числа и дивизора возникли первоначально при рассмотрении К. п. Место К. п. среди всех полей алгебраич. чисел выясняет теорема Кронекера - Вебера, утверждающая, что конечное расширение [img: http://localhost:8080/file/031211-222.jpg] абелево тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031211-223.jpg] для нек-рого п. Аналогичное утверждение выполняется и для локальных К. п. Алгебраическая теория. Поле К п является абелевым расширением поля [img: http://localhost:8080/file/031211-224.jpg] с группой Галуа [img: http://localhost:8080/file/031211-225.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031211-226.jpg] - мультипликативная группа кольца вычетов по модулю га. В частности, степень [img: http://localhost:8080/file/031211-227.jpg] равна [img: http://localhost:8080/file/031211-228.jpg] - функция Эйлера. Поле К п чисто мнимое и имеет степень 2 над своим максимальным вполне вещественным подполем [img: http://localhost:8080/file/031211-229.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031211-230.jpg] - разложение пна простые множители, то К п является свободным композитом полей [img: http://localhost:8080/file/031212-1.jpg]. В поле [img: http://localhost:8080/file/031212-2.jpg] простой дивизор римеет индекс ветвления [img: http://localhost:8080/file/031212-3.jpg] В. [img: http://localhost:8080/file/031212-4.jpg] имеет место равенство главных дивизоров [img: http://localhost:8080/file/031212-5.jpg] Все остальные простые дивизоры поля [img: http://localhost:8080/file/031212-6.jpg] неразветвлены в. [img: http://localhost:8080/file/031212-7.jpg] откуда следует, что рразветвлен в поле. [img: http://localhost:8080/file/031212-8.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031212-9.jpg] Числа [img: http://localhost:8080/file/031212-10.jpg] образуют фундаментальный базис поля К n. Дискриминант поля [img: http://localhost:8080/file/031212-11.jpg] равен [img: http://localhost:8080/file/031212-12.jpg] Для линейно разделенных над [img: http://localhost:8080/file/031212-13.jpg] полей Еи Fсо взаимно простыми дискриминантами [img: http://localhost:8080/file/031212-14.jpg] выполняется соотношение [img: http://localhost:8080/file/031212-15.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031212-16.jpg] Это позволяет вычислить [img: http://localhost:8080/file/031212-17.jpg] для произвольного га (см. [3]). Для поля [img: http://localhost:8080/file/031212-18.jpg] числа вида [img: http://localhost:8080/file/031212-19.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031212-20.jpg] порождают подгруппу конечного индекса в группе всех единиц. Элементы этой подгруппы наз. круговыми единицами. Закон разложения для К. п., т. е. закон, по к-рому простые дивизоры (р).поля [img: http://localhost:8080/file/031212-21.jpg] разлагаются в произведение простых дивизоров в [img: http://localhost:8080/file/031212-22.jpg] - частный случай общего закона разложения в абелевых расширениях, доставляемого теорией полей классов (см. [4]). А именно, если (р, n)=1 и f - наименьшее натуральное число, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/031212-23.jpg] то в К n [img: http://localhost:8080/file/031212-24.jpg] где простые дивизоры [img: http://localhost:8080/file/031212-25.jpg] попарно различны, [img: http://localhost:8080/file/031212-26.jpg]. Таким образом, тип разложения (р).зависит только от вычета р(mod n). В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031212-27.jpg] точный вид разложения (р).можно получить, учитывая, что [img: http://localhost:8080/file/031212-28.jpg] где (т, р)=1 и (р) вполне разветвлен в [img: http://localhost:8080/file/031212-29.jpg] Если К - максимальное абелево расширение [img: http://localhost:8080/file/031212-30.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031212-31.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031212-32.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031212-33.jpg] - пополнение кольца целых чисел [img: http://localhost:8080/file/031212-34.jpg] по всем идеалам конечного индекса. В частности, для любого простого lсуществует единственное расширение [img: http://localhost:8080/file/031212-35.jpg] с группой Галуа, изоморфной группе целых l-адических чисел [img: http://localhost:8080/file/031212-36.jpg] Согласно теории полей классов существует отображение взаимности [img: http://localhost:8080/file/031212-37.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031212-38.jpg] - группа иделей поля [img: http://localhost:8080/file/031212-39.jpg] В случае К. п. отображение [img: http://localhost:8080/file/031212-40.jpg] допускает простое и явное описание (см. [4]). Аналитическая теория. Многие результаты о строении группы классов дивизоров поля К п удается получить с помощью аналитпч. методов. Если h п - число классов поля К п, то [img: http://localhost:8080/file/031212-41.jpg] где w, D и R - число корней из единицы, дискриминант и регулятор поля [img: http://localhost:8080/file/031212-42.jpg] - некоторая явно вычислимая константа, [img: http://localhost:8080/file/031212-43.jpg] - L-функция Дирихле, соответствующая характеру [img: http://localhost:8080/file/031212-44.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031212-45.jpg] пробегает все нетривиальные мультипликативные характеры mod n. В свою очередь, для [img: http://localhost:8080/file/031212-46.jpg] существуют явные выражения в терминах гауссовых сумм (см. [7] гл. 5). Этим решается вопрос о вычислении [img: http://localhost:8080/file/031212-47.jpg] при заданном п. Существует естественное разложение [img: http://localhost:8080/file/031212-48.jpg] на два множителя [img: http://localhost:8080/file/031212-49.jpg] - первый и второй множители числа классов, причем [img: http://localhost:8080/file/031212-50.jpg] интерпретируется как число классов поля [img: http://localhost:8080/file/031212-51.jpg] В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031212-52.jpg] где Е - группа единиц поля [img: http://localhost:8080/file/031212-53.jpg] - группа круговых единиц (любая круговая единица становится действительной после умножения на подходящий корень из единицы). Для задач, связанных с проблемой Ферма, важную роль играет вдпрос о делимости числа классов поля К l на lдля простых l. Известно, что [img: http://localhost:8080/file/031212-54.jpg] для бесконечного числа простых l(такие lназ. иррегулярными). Относительно регулярных простых чисел l, т. е. чисел, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031212-55.jpg] до сих пор не известно (1982), конечно или бесконечно их число. Существует гипотеза, что [img: http://localhost:8080/file/031212-56.jpg] для всех l. Эта гипотеза проверена для большого числа примеров. Легче поддается исследованию множитель [img: http://localhost:8080/file/031212-57.jpg] Существует относительно простой критерий делимости [img: http://localhost:8080/file/031212-58.jpg] на lв терминах чисел Бернулли [7]. Известно, что [img: http://localhost:8080/file/031212-59.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031212-60.jpg] и что [img: http://localhost:8080/file/031212-61.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031212-62.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031212-63.jpg] (см. [6]). Для исследования группы классов К. п. успешно применяются так наз. р-адические L-функции (см. [5], [8]).