Круговое расширение

поля k - расширение K, получаемое присоединением к k первообразного корня из единицы нек-рой степени п. Иногда термин "К. р." относят и к любому промежуточному подполю расширения Кнад k. К. р. наз. также бесконечное алгебраич. расширение, являющееся объединением конечных К. р. Важный пример К. р. - круговые поля, отвечающие случаю, когда [img: http://localhost:8080/file/031212-64.jpg] - поле рациональных чисел. Пусть поле kимеет характеристику 0 и [img: http://localhost:8080/file/031212-65.jpg] - его К. р., полученное присоединением первообразного корня [img: http://localhost:8080/file/031212-66.jpg] Тогда поле [img: http://localhost:8080/file/031212-67.jpg] является композитом kи кругового поля [img: http://localhost:8080/file/031212-68.jpg] Поэтому многие свойства круговых полей переносятся и на К. р. Напр., [img: http://localhost:8080/file/031212-69.jpg] будет нормальным абелевым расширением поля k(причем ото справедливо и для полей положительной характеристики), группа Галуа расширения [img: http://localhost:8080/file/031212-70.jpg] является подгруппой группы Галуа расширения [img: http://localhost:8080/file/031212-71.jpg] в частности, ее порядок делит [img: http://localhost:8080/file/031212-72.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031212-73.jpg] - функция Эйлера. Если k - поле алгебраич. чисел, то в расширении [img: http://localhost:8080/file/031212-74.jpg] могут ветвиться только простые девизоры, делящие п, хотя при [img: http://localhost:8080/file/031212-75.jpg] дивизор поля k, делящий п, может остаться неразветвленным в [img: http://localhost:8080/file/031212-76.jpg] К. р. поля алгебраич. чисел с группой Галуа Г, изоморфной аддитивной группе целых l-адических чисел Zl, наз. круговыми Г-расширениями (см. [2], [3], [4]). Такое Г-расширение [img: http://localhost:8080/file/031212-77.jpg] в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031212-78.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031212-79.jpg] где