Крыла теория

- раздел аэродинамики, изучающий взаимодействие тел с потоками жидкости и газа. Основная задача К. т.- определение аэродинамич. сил, действующих на тело, и нахождение поля скоростей и и давления ркак функций времени tи декартовых координат x=(x1..., х n), п=2 для плоских и п=3 для пространственных течений. Для безвихревых баротропных течений в отсутствие вязких и массовых сил плотность газа р - известная функция давления [img: http://localhost:8080/file/031213-29.jpg] компоненты скорости ui - частные производные потенциала [img: http://localhost:8080/file/031213-30.jpg] В области, занятой газом, [img: http://localhost:8080/file/031213-31.jpg] удовлетворяет квазилинейному уравнению [img: http://localhost:8080/file/031213-32.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031213-33.jpg] - скорость звука, [img: http://localhost:8080/file/031213-34.jpg] - символы Кронекера. Давление р определяется потенциалом из интеграла Коши - Лагранжа [img: http://localhost:8080/file/031213-35.jpg] Граница области течения состоит из кусочно гладкой поверхности крыла Sи конечного числа поверхностей контактного разрыва [img: http://localhost:8080/file/031213-36.jpg] к-рые пересекаются с Sпо ребрам заострения кромок крыла либо касаются S. В плоских течениях [img: http://localhost:8080/file/031213-37.jpg] - кусочно гладкие кривые, кромки крыла - угловые точки S. На Sпотенциал удовлетворяет условию непротекания, а на [img: http://localhost:8080/file/031213-38.jpg] - условиям контактного разрыва: [img: http://localhost:8080/file/031213-39.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031213-40.jpg] - уравнения поверхностей [img: http://localhost:8080/file/031213-41.jpg] - предельные значения [img: http://localhost:8080/file/031213-42.jpg] при подходе к различным сторонам поверхности [img: http://localhost:8080/file/031213-43.jpg] На линиях пересечения [img: http://localhost:8080/file/031213-44.jpg] ставится условие Жуковского - Кутта - Чаплыгина о конечности давлений в кромках крыла [img: http://localhost:8080/file/031213-45.jpg] В стационарном случае (4) совпадает с условием конечности скоростей в точках [img: http://localhost:8080/file/031213-46.jpg] Форма поверхностей [img: http://localhost:8080/file/031213-47.jpg] неизвестна и определяется вместе с решением задачи. Поверхности [img: http://localhost:8080/file/031213-48.jpg] моделируют вихревой след, возникающий за обтекаемым телом в реальных течениях (см. Аэродинамики математические задачи). Этот факт согласуется с тем, что в рамках гипотезы о безвихревом характере движения непрерывного решения задачи об обтекании крыла с конечной величиной давления в острых кромках в общем случае не существует. В исключительных случаях, напр. для плоских стациопарных течений с постоянной циркуляцией скорости вокруг крылового профиля, поверхности разрыва могут отсутствовать. Уравнения (1) - (4) вместе с начальными данными образуют краевую задачу для нахождения [img: http://localhost:8080/file/031213-49.jpg] Ее тип определяется характером течения и числом Маха [img: http://localhost:8080/file/031213-50.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031213-51.jpg] Для неустановившихся движений сжимаемой жидкости и стационарных сверхзвуковых (М>1) течений уравнение (1) имеет [img: http://localhost:8080/file/031213-52.jpg] гиперболич. тип, для движений несжимаемой жидкости [img: http://localhost:8080/file/031213-53.jpg] и стационарных дозвуковых (М<1) течений уравнение (1) эллиптическое. В последнем случае в предположении, что S- кусочно гладкая кривая, имеющая одну угловую точку x0 с углом ap, [img: http://localhost:8080/file/031213-54.jpg] справедливо утверждение: для любого вектора k,|k|=l, существует [img: http://localhost:8080/file/031213-55.jpg] такое, что при [img: http://localhost:8080/file/031213-56.jpg] задача (1) - (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее в x0 условию Жуковского - Кутта - Чаплыгина и условию на бесконечности: [img: http://localhost:8080/file/031213-57.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031213-58.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031213-59.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031213-60.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031213-61.jpg] - число Маха течения. Для стационарных плоских дозвуковых течений справедлива основная теорема Жуковского (см. [1]-[3]): при обтекании профиля полная сила, действующая на него со стороны жидкости, перпендикулярна k, а ее величина R равна [img: http://localhost:8080/file/031213-62.jpg] Для таких течений доказана математич. корректность более общих задач: о совместном обтекании нескольких профилей; об обтекании крыла со срывом струй и с образованием застойной зоны (струйные течения); обратные задачи, определяющие формы крыла и его части по заданной эпюре давлений [4]. В связи с трудностями решения задач К. т. в точной постановке большое значение имеют приближенные модели: теория тонкого крыла, К. т. малого удлинения и т. д. Наиболее распространенной из них является линейная теория слабого изогнутого тонкого крыла (см. [1], [5]-[11]). В ее основе лежат следующие предположения: потенциал течения имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031213-63.jpg] толщина крыла и [img: http://localhost:8080/file/031213-64.jpg] малы по отношению к хорде крыла и скорости невозмущенного потока q>0. В теории тонкого крыла поверхность Sмоделируется ее проекцией S0 на плоскость х n = 0, а поверхность контактного разрыва [img: http://localhost:8080/file/031213-65.jpg] - полуполосой [img: http://localhost:8080/file/031213-66.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031213-67.jpg] - объединение всех лучей, параллельных оси Ох 1, выходящих из точек S0 в положительном направлении этой оси. Функция Ф(x, t).удовлетворяет линеаризованным уравнениям и граничным условиям: [img: http://localhost:8080/file/031213-68.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031213-69.jpg] - постоянные скорость звука и число Маха, соответствующие равномерному потоку со скоростью q, через [f] обозначен скачок величины f при переходе через [img: http://localhost:8080/file/031213-70.jpg] - заданные функции, определенные формой и условиями движения крыла. К этим уравнениям добавляются соотношения, определяющие поведение решений на бесконечности: в задачах о стационарных дозвуковых [img: http://localhost:8080/file/031213-71.jpg] течениях - затухание возмущений при [img: http://localhost:8080/file/031213-72.jpg] в задачах о малых дозвуковых колебаниях крыла - условие излучения Зоммерфельда (излучения условия), в задачах о сверхзвуковых [img: http://localhost:8080/file/031213-73.jpg] течениях добавляется равенство Ф=0 на головной волне возмущений (огибающей характеристических конусов с центрами на S0). Основной метод решения задач теории тонкого крыла - представление [img: http://localhost:8080/file/031213-74.jpg] в виде вихревых поверхностей и сведение краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям для плотности вихря. При этом: в точках границы S0, не принадлежащих [img: http://localhost:8080/file/031213-75.jpg], производные Ф, как правило, обращаются в бесконечность. Линейная теория пригодна для описания реальных течений лишь вне нек-рой окрестности передней кромки крыла. В линейной теории тонкого крыла получены решения в виде бесконечных рядов, содержащих специальные функции, плоской задачи о малых гармония, колебаниях крылового профиля, пространственной стационарной задачи в случае, когда Sявляется эллипсом (см. [1], [5]-[9]). Для расчета крыльев произвольной формы в плане разработаны численные методы (см. [10], [11]).