Крылова - боголюбова метод усреднения

- метод, применяемый в теории нелинейных колебаний для исследования колебательных процессов, основанный на принципе усреднения (осреднения), заменяющем точное дифференциальное уравнение движения усредненным. Различные схемы усреднения (Гаусса, Фату, Делоне - Хилла и др.) широко применялись в небесной механике еще задолго до работ Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. Разработка общего алгоритма, получившего название методаусреднения Крылова - Боголюбова, и теорема о близости решений точной и усредненной систем принадлежат Н. М. Крылову и Н. Н. Боголюбову (см. [1], [2]). Создание строгой теории метода усреднения, исчерпывающее выяснение сущности общего принципа усреднения принадлежат Н. Н. Боголюбову (см. [3], [4]), к-рый показал, что метод усреднения связан с существованием нек-рой замены переменных, позволяющей исключить время tиз правых частей рассматриваемых уравнений с наперед заданной степенью точности относительно малого параметра е; он же обосновал асимптотич. характер приближений, получаемых методом усреднения, и установил соответствие между решениями точных и усредненных уравнений на бесконечном временном интервале. Эти результаты получили дальнейшее развитие в работах Ю. А. Митропольского и др. (см. [5]-[8]) и применяются для изучения нелинейных колебаний. Система уравнений, для к-рых разработан К.- Б. м. у., имеет стандартный вид: [img: http://localhost:8080/file/031213-76.jpg] где t - время, е - малый положительный параметр. Основные предположения, при к-рых рассматривается система (1), сводятся к достаточной гладкости функции Xпо l, x и нек-рой "возвращаемости" ее по t, обеспечивающей существование среднего значения [img: http://localhost:8080/file/031213-77.jpg] напр, периодичности или почти периодичности Xпо t. Согласно К.- Б. м. у. т-е приближение к решению x=x(t)системы (1) определяется выражением [img: http://localhost:8080/file/031213-78.jpg] в к-ром [img: http://localhost:8080/file/031213-79.jpg] - решение "усредненного" уравнения [img: http://localhost:8080/file/031213-80.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031213-81.jpg] - функции, подбираемые из условия, чтобы выражение (2) удовлетворяло уравнению (1) с точностью до величин порядка [img: http://localhost:8080/file/031213-82.jpg] и чтобы Fj обладали по tтой же возвращаемостью, что и правая часть системы (11. Функции Fj находятся элементарно, функции Р j определяются в результате усреднения правой части системы (1) после подстановки в нее выражения (2). Так, в частности, для системы (1) с периодической по tправой частью, когда [img: http://localhost:8080/file/031213-83.jpg] функция F1 определяется по (3) согласно формуле [img: http://localhost:8080/file/031213-84.jpg] функции Fm и Р m при [img: http://localhost:8080/file/031213-85.jpg] определяются по соотношению [img: http://localhost:8080/file/031213-86.jpg] аналогичными формулами. Обоснование метода усреднения сводится к следующему: 1) установление оценки [img: http://localhost:8080/file/031213-87.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031213-88.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031213-89.jpg] - постоянная, не зависящая от [img: http://localhost:8080/file/031213-90.jpg] 2) доказательство существования решения x=x0(t).системы (1), находящегося в достаточно малой окрестности положения равновесия [img: http://localhost:8080/file/031213-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031213-92.jpg] усредненной системы: [img: http://localhost:8080/file/031213-93.jpg] и установление свойств устойчивости, периодичности или почти периодичности этого решения; 3) доказательство существования интегрального многообразия t: [img: http://localhost:8080/file/031213-95.jpg] системы (1), находящегося вблизи периодической траектории [img: http://localhost:8080/file/031213-96.jpg] усредненной системы: [img: http://localhost:8080/file/031213-97.jpg] и исследование поведения решении системы (1), начинающихся в окрестности многообразия т.