Кубатурная формула

формула для приближенного вычисления кратных интегралов вида [img: http://localhost:8080/file/031213-98.jpg] Интегрирование выполняется по [img: http://localhost:8080/file/031213-99.jpg] -множеству в евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/031213-100.jpg] К. ф. наз. приближенное равенство [img: http://localhost:8080/file/031213-101.jpg] Подинтегральная функция записана в виде произведения двух функций: первая р(х).считается фиксированной для данной К. ф. и наз. весовой функцией, вторая f(x) принадлежит достаточно широкому классу функций, напр., непрерывных и таких, что интеграл I(f) существует. Сумма в правой части (1) наз. кубатурной суммой, точки [img: http://localhost:8080/file/031213-102.jpg] наз. узлами К. ф., а числа [img: http://localhost:8080/file/031213-103.jpg] - ее коэффициентами. Обычно [img: http://localhost:8080/file/031213-104.jpg] хотя это требование не является обязательным. Нахождение приближенного значения I(f) с помощью формулы (1) сводится к вычислению кубатурной суммы. При n=1 формула (1) и сумма в правой ее части наз. квадратурными (см. Квадратурная формула). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031213-105.jpg] - мультииндекс, здесь [img: http://localhost:8080/file/031213-106.jpg] - неотрицательные целые числа; [img: http://localhost:8080/file/031213-107.jpg] - одночлен степени [img: http://localhost:8080/file/031213-108.jpg] от ппеременных; [img: http://localhost:8080/file/031213-109.jpg] - число одночленов степени не выше т от п переменных; [img: http://localhost:8080/file/031213-110.jpg] - одночлены, занумерованные так, что одночлены меньшей степени имеют меньший номер, а одночлены одной и той же степени нумеруются в любом порядке, напр. лексикографическом. При указанной нумерации [img: http://localhost:8080/file/031213-111.jpg] а среди [img: http://localhost:8080/file/031213-112.jpg] содержатся все одночлены степени не выше т. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031213-113.jpg] - многочлен степени т. Множество точек в комплексном пространстве С n, удовлетворяющих уравнению [img: http://localhost:8080/file/031213-114.jpg] наз. алгебраич. гиперповерхностью порядка т. Один из способов получения К. ф. основан на алгебраич. интерполировании. Точки [img: http://localhost:8080/file/031213-115.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031213-116.jpg] выберем так, чтобы они не лежали на алгебраич. гиперповерхности порядка т или, что равносильно, чтобы матрица Вандермонда [img: http://localhost:8080/file/031213-117.jpg] была неособенной. Интерполяционный многочлен функции f(x).по ее значениям в [img: http://localhost:8080/file/031213-118.jpg] в форме Лагранжа имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031213-119.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031213-120.jpg] - многочлен влияния j-го узла: [img: http://localhost:8080/file/031213-121.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/031213-122.jpg] - символ Кронекера). Умножение приближенного равенства [img: http://localhost:8080/file/031213-123.jpg] на р(х).и интегрирование по W приводит к К. ф. (1), в к-рой N=m и [img: http://localhost:8080/file/031213-126.jpg] Существование интегралов (2) равносильно существованию моментов весовой функции [img: http://localhost:8080/file/031213-127.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031213-128.jpg] Здесь и далее предполагается, что требуемые моменты р(х).существуют. К. ф. (1), узлы к-рой не лежат на алгебраич. гиперповерхности порядка т, их число N=m и коэффициенты определяются равенствами (2), наз. интерполяционной К. ф. Формула (1) обладает m-с в о й с т в о м, если она обращается в точное равенство, когда f(х) - любой многочлен степени не выше т; интерполяционная К. ф. обладает m-свойством. Для того чтобы К. ф. (1), обладающая m-свойством и с числом узлов [img: http://localhost:8080/file/031213-130.jpg] была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы [img: http://localhost:8080/file/031213-131.jpg] был равен N. При n=1 это условие выполнено, так что квадратурная формула, обладающая m-свойством и с числом узлов [img: http://localhost:8080/file/031213-132.jpg] является интерполяционной. Фактич. построение интерполяционной К. ф. сводится к выбору узлов и вычислению коэффициентов. Коэффициенты Cj можно находить из линейной алгебраич. системы [img: http://localhost:8080/file/031213-133.jpg] которую получают, записывая, что К. ф. (1) (при N=m) точна для одночленов степени не выше т. Матрица системы совпадает с V. Пусть требуется построить К. ф. (1), к-рая обладает m-свойством, а число ее узлов меньше m. За счет выбора коэффициентов это сделать невозможно, поэтому неизвестными в (1) считаются не только коэффициенты, но и узлы. Таким образом, имеется N(n+1). неизвестных. Так как К. ф. должна обладать m-свойством, то это дает m уравнений [img: http://localhost:8080/file/031213-137.jpg] Естественно потребовать, чтобы число неизвестных совпадало с числом уравнений: N(n+1)=m.. Это равенство ориентировочно определяет число узлов искомой К. ф. Если N=m/(n+1) - не целое, то полагаем [img: http://localhost:8080/file/031213-140.jpg] означает целую часть m/(n+1) Требуемая К. ф. с указанным числом узлов не всегда существует. Если К. ф. существует, то она имеет в (n+1) раз меньше узлов, чем интерполяционная К. ф. Однако в этом случае узлы и коэффициенты определяются из нелинейной системы уравнений (3). Метод неопределенных параметров построения К. ф. состоит в том, что К. ф. ищется в таком виде, к-рый приводит к упрощению системы (3). Это возможно в тех случаях, когда W и р(х).обладают симметрией. Расположение узлов согласуется с симметрией W и р(х), при этом симметричным узлам сопоставляются одинаковые коэффициенты. Упрощение системы (3) связано с риском: система (3) может иметь решение, а упрощенная - не имеет. Пример. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031213-144.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031213-145.jpg] Требуется построить К. ф. с 7-свойством; n=2, m=M, (2, 7)=36 и число узлов равно 12. Узлы расположим следующим образом. Первую группу узлов образуют точки пересечения окружности с центром в начале координат и радиусом ас координатными осями. Вторая группа узлов состоит из точек пересечения окружности с тем же центром и радиусом bс прямыми [img: http://localhost:8080/file/031213-147.jpg] Третья группа узлов образуется как и вторая, при этом радиус окружности обозначается с. Коэффициенты, отвечающие узлам одной и той же группы, считаются одинаковыми и равными А, В, С для узлов первой, второй и третьей групп соответственно. Такой выбор узлов и коэффициентов обеспечивает точность К. ф. для одночленов [img: http://localhost:8080/file/031213-148.jpg] у к-рых хоть одно из чисел iи jнечетно. Чтобы К. ф. имела 7-свойство, достаточно потребовать, чтобы она была точна для [img: http://localhost:8080/file/031213-149.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031213-150.jpg] Это приводит к нелинейной системе шести уравнений относительно шести неизвестных а, Ъ, с, А, В, С. Решая ее, получаем К. ф., узлы к-рой принадлежат К% и коэффициенты положительны. Пусть G - конечная подгруппа группы ортогональных преобразований О(п).пространства [img: http://localhost:8080/file/031213-151.jpg] оставляющих неподвижным начало координат. МножествоW и функция р(х).наз. инвариантными относительно G, если [img: http://localhost:8080/file/031213-153.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/031213-154.jpg] Совокупность точек вида ga, где а - фиксированная точка [img: http://localhost:8080/file/031213-155.jpg] и g пробегает все элементы группы G, наз. орбитой, содержащей а. К. ф. (1) наз. инвариантной относительно G, если W и р(х).инвариантны относительно G и совокупность ее узлов представляет собой объединение орбит, при этом узлам одной и той же орбиты сопоставляются одинаковые коэффициенты. Инвариантными относительно G множествами являются все пространство [img: http://localhost:8080/file/031213-157.jpg] шар и сфера с центром в начале координат, а если G - группа преобразований правильного многогранника Uв себя, то инвариантен и U. Таким образом, инвариантные К. ф. можно рассматривать, когда в качестве W берутся [img: http://localhost:8080/file/031213-159.jpg] шар, сфера, куб и любой правильный многогранник, а в качестве р (г) - любая инвариантная относительно G функция, напр., р(r), где [img: http://localhost:8080/file/031213-160.jpg] Теорема 1. Чтобы инвариантная относительно G К. ф. обладала m-свойством, необходимо и достаточно, чтобы она была точна для тех многочленов степени не выше т, к-рые инвариантны относительно G (см. [5]). Метод неопределенных параметров можно определить как метод построения инвариантных К. ф., обладающих m-свойством. В приведенном выше примере в качестве G можно взять группу симметрии квадрата. Теорема 1 имеет существенное значение при построении инвариантных К. ф. Для простых областей интегрирования, таких, как куб, симплекс, шар, сфера, и для веса р(х)=1 можно построить К. ф. кратным применением квадратурных формул. Напр., когда [img: http://localhost:8080/file/031213-161.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031213-162.jpg] - куб, то с помощью квадратурной формулы Гаусса с kузлами i/ и коэффициентами А;может быть получена К. ф. [img: http://localhost:8080/file/031213-163.jpg] имеющая [img: http://localhost:8080/file/031213-164.jpg] узлов и точная для всех одночленов [img: http://localhost:8080/file/031213-165.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031213-166.jpg] в частности для всех многочленов степени не выше 2k-1. Число узлов таких К. ф. быстро возрастает. Этим фактом определяются границы их применимости. Всюду в дальнейшем считается, что весовая функция сохраняет знак, для определенности [img: http://localhost:8080/file/031213-168.jpg] Положительность коэффициентов К. ф. с таким весом является ценным ее свойством. Теорема 2. Если область интегрирования W замкнута и р(х).удовлетворяет (4), то существует интерполяционная К. ф. (1), обладающая m-свойством, [img: http://localhost:8080/file/031213-170.jpg] с положительными коэффициентами и узлами, принадлежащими W. Вопрос о фактическом построении такой К. ф. остается открытым. Теорема 3. Если К. ф. с весом, удовлетворяющим (4), имеет действительные узлы и коэффициенты и обладает m-свойством, то среди ее коэффициентов не менее [img: http://localhost:8080/file/031213-172.jpg] положительных, [img: http://localhost:8080/file/031213-173.jpg] - целая часть числа т/2. При условиях теоремы 3 число l является нижней границей для числа узлов: [img: http://localhost:8080/file/031213-175.jpg] Это неравенство остается справедливым и без предположения о действительности [img: http://localhost:8080/file/031213-176.jpg] Среди К. ф. с m-свойством большой интерес представляют те, к-рые имеют наименьшее число узлов. В случае m=1, 2 такие формулы легко найти при любом пи для произвольных [img: http://localhost:8080/file/031213-177.jpg] при этом наименьшее число узлов совпадает с нижней границей l: равно 1 в первом случае и n+1 - во втором. При [img: http://localhost:8080/file/031213-179.jpg] наименьшее число узлов зависит от области и веса. Напр., при т=3 для области с центральной симметрией и р(х)=1 наименьшее число узлов равно 2п, а для симплекса и р(х)=1 оно равно n+2. При [img: http://localhost:8080/file/031213-180.jpg] эти числа различны. В силу (4) [img: http://localhost:8080/file/031213-181.jpg] является скалярным произведением в пространстве многочленов. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031213-182.jpg] - векторное пространство многочленов степени k, к-рые ортогональны в смысле скалярного произведения (5) ко всем многочленам степени не выше k-1. Размерность [img: http://localhost:8080/file/031213-183.jpg] равна М(п-1, k) - числу одночленов степени k. Многочлены из [img: http://localhost:8080/file/031213-184.jpg] наз. ортогональными многочленами W и р(х). Теорема 4. Чтобы существовала К. ф. (1), обладающая (2k-1) -свойством и с числом узлов [img: http://localhost:8080/file/031213-186.jpg] равным нижней границе, необходимо и достаточно, чтобы ее узлы были общими корнями всех ортогональных многочленов W и р(х).степени k. Теорема 5. Если портогональных многочленов степени kимеют kn конечных и попарно различных общих корней, то эти корни можно взять в качестве узлов К. ф. (1), к-рая обладает (2k-1) -свойством. Погрешность К. ф. (1), в к-рой р(x)=1 и W ограничено, определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031213-189.jpg] Пусть В - банахово пространство функций такое, что l(f) является линейным функционалом в В. Норма функционала характеризует качество рассматриваемой [img: http://localhost:8080/file/031213-190.jpg] К. ф. для всех функций пространства B. Другой подход к построению К. ф. основан на минимизации ||l|| как функции узлов и коэффициентов искомой кубатурной формулы (при фиксированном числе узлов). Даже при n=1 реализация этого подхода связана с трудностями. Для любого [img: http://localhost:8080/file/031213-192.jpg] важные результаты получил С. Л. Соболев [4]. Вопрос о минимизации ||l|| по коэффициентам при заданных узлах решается до конца; задача выбора узлов рассматривается в предположении, что узлы образуют параллелепипедальную решетку и минимизация осуществляется лишь за счет параметров этой решетки. В качестве В, в частности, берется пространство [img: http://localhost:8080/file/031213-194.jpg] при этом искомая К. ф. считается точной для многочленов степени не выше m-1.