Кубическая форма

однородный многочлен третьей степени от нескольких переменных с коэффициентами из нек-рого фиксированного поля или кольца. Пусть k - нек-рое поле и F3(x0,..., х п)-К. ф. с коэффициентами из k(говорят, что это - К. ф. над k}. Уравнение [img: http://localhost:8080/file/031214-20.jpg] определяет кубическую гиперповерхность в проективном пространстве Р n, что сводит алгебро-геометрическую теорию К. ф. над алгебраически замкнутым полем kк теории кубических гиперповерхностей (см. [1]). Арифметич. теория К. ф. над числовыми полями (и их кольцами целых) развита пока (1982) недостаточно полно по сравнению с богатой и содержательной арифметич. теорией квадратичных форм. Для К. ф. от двух переменных арифметич. теория - это теория кубич. расширений числовых полей (см. [2]). Для К. ф. от трех переменных арифметич. теория - это часть арифметич. теории эллиптич. кривых (см. [3]). В частности, для К. ф. от трех переменных известны примеры нарушения принципа Хассе. Для К. ф. от четырех переменных (см. [1, 4, 6]) также известны примеры нарушения принципа Хассе. Для К. ф. от большего числа переменных нет никакой общей теории. В чисто алгебраич. теории К. ф. кроме результатов о структуре множеств точек на кубич. гиперповерхностях имеется еще ряд результатов классич. теории инвариантов. А именно, известно строение алгебры (абсолютных) инвариантов К. ф. от двух и трех переменных; в этих случаях она не имеет сизигий и является алгеброй многочленов соответственно от одного (степени 4) и двух (степени 4 и 6) алгебраич. независимых однородных образующих. Если число переменных больше трех, указанная алгебра имеет сизигии [5] и устроена весьма сложно. Орбиты, их стабилизаторы и канонич. представители, а также семейства орбит относительно естественного действия группы [img: http://localhost:8080/file/031214-21.jpg] на пространстве всех К. ф. от трех и четырех переменных изучались А. Пуанкаре [6].