Кэлерово многообразие

комплексное многообразие, на к-ром можно ввести Кэлера метрику. Иногда такие многообразия на. Теория гармония, форм на компактном К. м. дает следующие свойства групп когомологий де Рама и Дольбо на таком многообразии М(см. [1], [2], а также [5], где эти свойства были впервые доказаны для проективных алгебраич. многообразий): [img: http://localhost:8080/file/031215-93.jpg] Голоморфные формы на компактном К. м. замкнуты. В частности, [img: http://localhost:8080/file/031215-94.jpg] где А 1- пространство всех голоморфных 1-форм на М. В случае [img: http://localhost:8080/file/031215-95.jpg] число [img: http://localhost:8080/file/031215-96.jpg] есть род компактной римановой поверхности М. На указанных выше свойствах основано построение примеров некэлеровых компактных многообразий, простейшим из к-рых является поверхность Хопфа, диффеомор-фная [img: http://localhost:8080/file/031215-97.jpg] К. м. Мназ. многообразием Ходжа, если кэлерова метрика на Мявляется метрикой Ходжа. Всякое проективное алгебраич. многообразие без особых точек является многообразием Ходжа относительно метрики, индуцированной метрикой Фубини - Штуди. Обратно, всякое компактное комплексное многообразие М, снабженное кзлеровой метрикой Ходжа h, допускает биголоморфное вложение в комплексное проективное пространство, причем метрика на М, индуцированная метрикой Фубини - Штуди, имеет вид kh, где k - натуральное число [1], [3] (теорема Кодаиры о проективном вложении). Таким образом, компактное комплексное многообразие Мизоморфно проективному алгебраич. многообразию тогда и только тогда, когда М - многообразие Ходжа Другая форма этого критерия состоит в том что компактное комплексное многообразие Мявляется проективным алгебраич. многообразием тогда и только тогда, когда на Мсуществует отрицательное расслоение на комплексные прямые. Теорема Кодаиры допускает сообщение на комплексные пространства (см. [4], [6]). Компактные К. м., не являющиеся многообразиями Ходжа, можно найти среди двумерных комплексных торов. Напр., этим свойством обладает тор [img: http://localhost:8080/file/031215-100.jpg] где Г - решетка, натянутая на векторы (1,0), (0,1), [img: http://localhost:8080/file/031215-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031215-102.jpg] (см. [1], [3]). Другое необходимое и достаточное условие проективности re-мерного компактного кэлерова многообразия Мсостоит в наличии на М п алгебраически независимых мероморфных функций. Всякое некомпактное полное К. м., имеющее положительную секционную кривизну, является многообразием Штейна. Тем же свойством обладает любое одно-связное полное К. м. неположительной секционной кривизны [7].