Кэли - диксона алгебра

- альтернативная 8-мерная алгебра, получающаяся из алгебры обобщенных кватернионов применением процесса Кэл и- Диксона. Этот процесс заключается в построении по заданной алгебре Ановой алгебры А 1 (удвоенной размерности) и является обобщением процесса удвоения (см. Гиперкомплексное число). А именно, пусть А- алгебра с единицей 1 над нолем F,d - некоторый ненулевой элемент из Fи задано F-линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/031215-169.jpg] являющееся инволюцией, причем [img: http://localhost:8080/file/031215-170.jpg] На прямой сумме линейных пространств [img: http://localhost:8080/file/031215-171.jpg] формулой [img: http://localhost:8080/file/031215-172.jpg] определяется умножение, превращающее А 1 в алгебру. Алгебра Авкладывается в А 1 в качестве подалгебры: [img: http://localhost:8080/file/031215-173.jpg] и инволюция * продолжается до инволюции в А 1: [img: http://localhost:8080/file/031215-174.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/031215-175.jpg] Процесс перехода от алгебры Ак алгебре А 1 можно продолжить, получая возрастающую цепочку алгебр [img: http://localhost:8080/file/031215-176.jpg] параметр d на каждом шаге может меняться. Если процесс Кэли - Диксона начинается с алгебры Ас базисом {1, и},таблицей умножения [img: http://localhost:8080/file/031215-178.jpg] и инволюцией: [img: http://localhost:8080/file/031216-1.jpg] то после первого шага получится алгебра A1 обобщенных кватернионов (ассоциативная алгебра размерности 4), а на втором шаге - алгебра А 2 размерности 8, к-рая и наз. К э л и-Д и к с о н а алгеброй. Любая К.- Д. а. является альтернативной, но не ассоциативной центральной простой алгеброй над F;обратно, простое альтернативное кольцо либо ассоциативно, либо является К.- Д. а. над своим центром. Определенная на К.-Д. а. квадратичная форма (х).от восьми переменных, соответствующих базису алгебры, обладает мультипликативным свойством: [img: http://localhost:8080/file/031216-2.jpg] Тем самым устанавливается связь между К.- Д. а. и проблемой существования композиции для квадратичных форм. К.- Д. а. является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда квадратичная форма (х).(норма э л е м е н т а х).не представляет нуля в F. Если характеристика поля Fотлична от 2, то К.- Д. а. обладает базисом [img: http://localhost:8080/file/031216-3.jpg] с таблицей умножения вида [img: http://localhost:8080/file/031216-4.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031216-5.jpg] а инволюция определяется условиями [img: http://localhost:8080/file/031216-6.jpg] Эта алгебра обозначается [img: http://localhost:8080/file/031216-7.jpg] Алгебры [img: http://localhost:8080/file/031216-8.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031216-9.jpg] изоморфны тогда и только тогда, когда эквивалентны отвечающие им квадратичные формы (х). Если (х).представляет нуль, то соответствующая К.- Д. а. изоморфна А(-1, 1, 1). Алгебра (-1, 1, 1) наз. расщепляемой алгеброй К э л и, или векторно-матричной алгеброй. Ее элементы могут быть представлены матрицами вида [img: http://localhost:8080/file/031216-10.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031216-11.jpg] - трехмерное пространство над Fс обычными операциями скалярного произведения [img: http://localhost:8080/file/031216-12.jpg] и векторного произведения [img: http://localhost:8080/file/031216-13.jpg] Умножение этих матриц задается формулой [img: http://localhost:8080/file/031216-14.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031216-15.jpg] - поле действительных чисел, то A (1, 1, 1) - алгебра Кэли чисел (она является алгеброй с делением). Любая К.- Д. а. над [img: http://localhost:8080/file/031216-16.jpg] изоморфна либо А(1,1, 1), либо А(-1, 1, 1). Построение К.- Д. а. над произвольным полем принадлежит Л. Диксону (L. Dickson), к-рый изучил также их основные свойства (см. [1], [2]). Пусть А- альтернативное кольцо, ассоциативно-коммутативный центр Ск-рого отличен от нуля и не содержит делителей нуля, a F - поле частных кольца С. Тогда имеется естественное вложение [img: http://localhost:8080/file/031216-17.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031216-18.jpg] есть К.- Д. а. над F, то Аназ. кольцом Кэли - Диксона.