Кёбе теорема

- 1) К. т. покрытия: существует абсолютная постоянная К>0 (постоянная Кёбе) такая, что если [img: http://localhost:8080/file/021215-14.jpg] (S- класс функций f(z) = z +..., регулярных и однолистных в |z|< 1), то множество значений функции w=f(z)при |z|<l заполняет круг |w|<K, причем К- наибольшее из чисел, для к-рых это справедливо. Л. Бибербах (L. Bieberbach, 1916) доказал, что [img: http://localhost:8080/file/021215-15.jpg] и что на окружности |w|=1/4 только в том случае имеются точки, не принадлежащие образу круга |z|<1 при отображении w=f(z), если [img: http://localhost:8080/file/021215-16.jpg] где a- действительное число. К. т. покрытия иногда формулируют так: если функция w=f(z), f(0) = 0, регулярна и однолистна в |z|<l и отображает круг |z| <1 на область, не содержащую точку с, то |f'(0)|<4с. 2) К. т. искажения, а) Существуют такие положительные числа m1(r), М 1(r), зависящие только от r, что для [img: http://localhost:8080/file/021215-17.jpg] |z| = r имеют место неравенства: [img: http://localhost:8080/file/021215-18.jpg] б) Существует число М(r), зависящее только от r и такое, что для [img: http://localhost:8080/file/021215-19.jpg] справедливы неравенства: [img: http://localhost:8080/file/021215-20.jpg] Эту теорему можно также сформулировать следующим образом: существуют положительные числа т 2(r), М 2(r), зависящие только от r и такие, что для [img: http://localhost:8080/file/021215-21.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021215-22.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021215-23.jpg] Л. Бибербах показал, что наилучшие границы в К. т. искажения таковы: [img: http://localhost:8080/file/021215-24.jpg] 3) К. т. об отображении конечно связных областей на канонические области, а) Всякую n-связную область Вплоскости z можно однолистно отобразить на круговую область (т. е. на область, ограниченную конечным числом полных окружностей без общих точек, причем нек-рые из них могут вырождаться в точки) плоскости z. Среди этих отображений существует только одно нормированное отображение, переводящее заданную точку [img: http://localhost:8080/file/021215-25.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/021215-26.jpg] и такое, что разложение отображающей функции в окрестности z=a имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021215-27.jpg] смотря по тому, конечно аили нет. б) Всякую n-связную область В плоскости z с граничными континуумами К 1,..., К п можно однолистно отобразить на плоскость z с празрезами по дугам логарифмич. спиралей соответственно наклонов q1,...,qn, [img: http://localhost:8080/file/021215-28.jpg] v=l,..., n, к радиальным направлениям и притом так, что континуумы Kv,v=l,..., п, переходят соответственно в дуги наклонов qv, заданные точки [img: http://localhost:8080/file/021215-29.jpg] переходят в 0 и [img: http://localhost:8080/file/021215-30.jpg] и разложение отображающей функции в окрестности z=b имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021215-31.jpg] смотря по тому, конечно bили нет. Отображение единственно. Теоремы 1) - 3) установлены П. Кёбе (см.[1] - [4]).