Лагранжа задача

- одна из основных задач классич. вариационного исчисления. Состоит в минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/031301-48.jpg] при наличии дифференциальных ограничений типа равенств: [img: http://localhost:8080/file/031301-49.jpg] и граничных условий: [img: http://localhost:8080/file/031301-50.jpg] Обычно Л. з. рассматривается при условии, что имеет место регулярность системы (1), состоящая в том, что матрица [img: http://localhost:8080/file/031301-51.jpg] имеет максимальный ранг: [img: http://localhost:8080/file/031301-52.jpg] При этом условии систему (1) можно разрешить относительно части переменных и, используя иные обозначения (t, х вместо х, у), привести Л. з. к виду [img: http://localhost:8080/file/031301-53.jpg] Функцию Fи отображение Ф предполагают обычно непрерывно дифференцируемыми. Задачи оптимального управления задаются обычно в форме (2) (разрешенная, или понтрягинская, форма), и при этом накладываются еще ограничения на управление [img: http://localhost:8080/file/031301-54.jpg] Необходимые условия сильного экстремума для задачи (2) (для простоты - с закрепленным левым x0 и свободным правым концом x1) имеют следующий вид. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031301-55.jpg] - Лагранжа функция. Для того чтобы вектор-функция [img: http://localhost:8080/file/031301-56.jpg] доставляла сильный минимум в Л. з. (2), необходимо, чтобы были выполнены соотношения: [img: http://localhost:8080/file/031301-57.jpg] при всевозможных допустимых значениях х, u. Если провести дифференцирование в (3) по tи воспользоваться обозначением [img: http://localhost:8080/file/031301-58.jpg] то необходимое условие сильного минимума сформулируется в форме принципа максимума, в к-ром соединены Эйлера уравнение(3), трансверсальности условие(4) и Вейерштрасса условие(5). Для того чтобы вектор-функция [img: http://localhost:8080/file/031301-59.jpg] доставляла сильный минимум в задаче (2) с закрепленным левым и свободным правым концами, необходимо, чтобы нашлось решение системы [img: http://localhost:8080/file/031301-60.jpg] Ж. Лагранж (J. Lagrange) рассматривал подобные задачи в связи с исследованиями по механике (2-я пол. 18 в.). Лит. см. при статье Вариационное исчисление. И. Б. Вапнярский, В. М. Тихомиров.