Лагранжа интерполяционная формула

форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х 0, x1,..., х п: [img: http://localhost:8080/file/031301-61.jpg] В случае, когда значения х i являются равноотстоящими, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031301-62.jpg] с помощью обозначений (х-x0)/h=t формула (1) может быть приведена к виду [img: http://localhost:8080/file/031301-63.jpg] В выражении (2), наз. Л. и. ф. для равноотстоящих узлов, коэффициенты, стоящие перед f(х i): [img: http://localhost:8080/file/031301-64.jpg] наз. коэффициентами Лагранжа. Если функция f имеет производную порядка n+1 на отрезке [a, b], все узлы интерполяции лежат на этом отрезке и для любой точки [img: http://localhost:8080/file/031301-65.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031301-66.jpg] то существует такая точка [img: http://localhost:8080/file/031301-67.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031301-68.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031301-69.jpg] Если абсолютная величина производной [img: http://localhost:8080/file/031301-70.jpg] ограничена на отрезке [а, b] постоянной Ми если в качестве узлов интерполяции выбраны точки, в к-рые перейдут корни многочлена Чебышева степени n+1 при линейном отображении отрезка [- 1, 1] на отрезок [а, b], то для любого [img: http://localhost:8080/file/031301-71.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/031301-72.jpg] Если узлы интерполяции - комплексные числа z0, z1,..., zn и лежат в нек-рой области G, ограниченной кусочно гладким контуром [img: http://localhost:8080/file/031301-73.jpg] а функция f является однозначной аналитич. функцией в замыкании области G, то Л. и. ф. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031301-74.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031301-75.jpg] Л. и. ф. для интерполирования с помощью тригоно-метрич. полиномов наз. формула [img: http://localhost:8080/file/031301-76.jpg] дающая тригонометрич. полином порядка п, принимающий в заданных узлах х 0, x1,..., х п. данные значения y0, y1,..., y п. Формула предложена Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1795).