Лагранжа множители

переменные, с помощью к-рых строится Лагранжа функция при исследовании задач на условный экстремум. Использование Л. м. и функции Лагранжа позволяет единообразным способом получать необходимые условия оптимальности в задачах на условный экстремум. Метод получения необходимых условий в задаче определения экстремума функции [img: http://localhost:8080/file/031301-87.jpg] при ограничениях [img: http://localhost:8080/file/031301-88.jpg] заключающийся в использовании Л. м. [img: http://localhost:8080/file/031301-89.jpg] построении функции Лагранжа [img: http://localhost:8080/file/031301-90.jpg] и приравнивании к нулю ее частных производных по xj и [img: http://localhost:8080/file/031301-91.jpg] наз. методом Лагранжа. В этом методе оптимальное значение [img: http://localhost:8080/file/031301-92.jpg] находится вместе с соответствующим ему вектором Л. м. [img: http://localhost:8080/file/031301-93.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031301-94.jpg] из решения системы m+n уравнений. Л. м. [img: http://localhost:8080/file/031301-95.jpg] допускают следующую интерпретацию [1]: пусть [img: http://localhost:8080/file/031301-96.jpg] доставляет относительный экстремум функции (1), при условиях (2); [img: http://localhost:8080/file/031301-97.jpg] Значения [img: http://localhost:8080/file/031301-98.jpg] зависят от значений bi - правых частей ограничений (2). Формулируются достаточно общие предположения, при к-рых все [img: http://localhost:8080/file/031301-99.jpg] являются непрерывно дифференцируемыми функциями вектора b=(b1,..., b т).в нек-рой e-окрестности его значения, задаваемого в (2). При этих предположениях непрерывно дифференцируемой по bi будет и функция z*. Частные производные от экстремума [img: http://localhost:8080/file/031301-100.jpg] равны соответствующим Л. м. [img: http://localhost:8080/file/031301-101.jpg] вычисленным при данном b=(b1,..., b т). [img: http://localhost:8080/file/031301-102.jpg] В прикладных задачах z часто интерпретируется как доход или стоимость, а правые части bi - как затраты некоторых ресурсов. Тогда размерностью [img: http://localhost:8080/file/031301-103.jpg] будет отношение единицы стоимости к единице i-гo вида ресурсов. Числа [img: http://localhost:8080/file/031301-104.jpg] показывают, как изменится максимальный доход (или максимальная стоимость), если количество i-го вида ресурсов увеличится на единицу. Приведенная интерпретация Л. м. распространяется также на случай ограничений в виде неравенств и на случай, когда переменные xj подчинены требованиям неотрицательности. В вариационном исчислении с помощью Л. м. удобно получать необходимые условия оптимальности в задаче на условный экстремум как необходимые условия безусловного экстремума нек-рого составного функционала. Л. м. в вариационном исчислении являются уже не константами, а нек-рыми функциями. В теории оптимального управления и в Понтрягина принципе максимума Л. м. получили название сопряженных переменных.