Лакунарная система

порядка р>2, Sp- система,- ортонормированная система функций [img: http://localhost:8080/file/031302-32.jpg] пространства Lp такая, что если ряд [img: http://localhost:8080/file/031302-33.jpg] сходится в пространстве L2, то его сумма принадлежит классу Lp. Если система функций [img: http://localhost:8080/file/031302-34.jpg] есть S р -система при любом р>2, то она наз. [img: http://localhost:8080/file/031302-35.jpg] -системой. С. Банах (S. Banach) доказал (см. [2]), что из всякой ограниченной в пространстве Lp ортонормированной в L2 системы функций можно выбрать S р -систему. Для того чтобы ортонормированная система функций [img: http://localhost:8080/file/031302-36.jpg] была S р- системой, необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная [img: http://localhost:8080/file/031302-37.jpg] зависящая только от ри такая, что [img: http://localhost:8080/file/031302-38.jpg] для всех N, {а}. Если система функций [img: http://localhost:8080/file/031302-39.jpg] есть S р- система при некотором р>2, то найдется постоянная ттакая, что [img: http://localhost:8080/file/031302-40.jpg] для всех N, [img: http://localhost:8080/file/031302-41.jpg]. Система функций, обладающая этим свойством, наз. системой Банаха. Эти определения распространяются и на не ортогональные системы функций (см., напр., [3]). Иногда под Л. с. понимают систему функций, ряды к-рой обладают одним или несколькими свойствами лакунарных тригонометрических рядов, в зависимости от к-рых ей придают различные названия. Напр., с теоремой единственности для лакунарных тригонометрич. рядов связано понятие Л. с. Е-единственности. Система функций [img: http://localhost:8080/file/031302-42.jpg] наз. системой в-единственности, если существует число e>0 такое, что из сходимости ряда (*) к нулю всюду, за исключением быть может множества меры, меньшей e, следует равенство всех его коэффициентов нулю.