Лапласа оператор

лапласиан,- дифференциальный оператор [img: http://localhost:8080/file/031303-74.jpg] определяемый формулой [img: http://localhost:8080/file/031303-75.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/031303-76.jpg] - координаты в [img: http://localhost:8080/file/031303-77.jpg]), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе, математич. физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа - Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма). Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой [img: http://localhost:8080/file/031303-78.jpg] пусть [img: http://localhost:8080/file/031303-79.jpg] - матрица, обратная к матрице [img: http://localhost:8080/file/031303-80.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031303-81.jpg] Тогда Л. о. (или оператор Лапласа - Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид [img: http://localhost:8080/file/031303-82.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031303-83.jpg] - локальные координаты на М. Оператор (1) отличается знаком от Л. о. стандартной евклидовой метрики [img: http://localhost:8080/file/031303-84.jpg] Обобщением оператора (3) является Л. о. на дифференциальных формах. Именно, в пространстве всех внешних дифференциальных форм на МЛ. о. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031303-85.jpg] где d - оператор внешнего дифференцирования формы, d* - формально сопряженный к dоператор, определяемый с помощью следующего произведения на гладких финитных формах: [img: http://localhost:8080/file/031303-86.jpg] где * - оператор Ходжа, порожденный метрикой (2) и переводящий р-формы в (п-р)-формы. В формуле (5) формы a и b считаются действительными, на комплексных формах нужно использовать эрмитово продолжение скалярного произведения (5). Сужение оператора (4) на О-формы (т. е. функции) задается формулой (3). На р-формах при произвольном целом [img: http://localhost:8080/file/031303-88.jpg] Л. о. в локальных координатах записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/031303-89.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/031303-90.jpg] - ковариантные производные по [img: http://localhost:8080/file/031303-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031303-92.jpg] - тензор кривизны, [img: http://localhost:8080/file/031303-93.jpg] - тензор Риччи. Пусть дан произвольный эллиптич. комплекс [img: http://localhost:8080/file/031303-94.jpg] где Е р - действительные или комплексные расслоения на многообразии М, Г (Е р) - пространства их гладких сечений. Введя в каждом расслоении Е р эрмитову метрику, а также задав произвольным образом элемент объема на М, можно определить эрмитово скалярное произведение в пространствах гладких финитных сечений расслоений Е р. Тогда определены операторы d*, формально сопряженные к операторам d. По формуле (3) строится Л. о. на каждом пространстве Г(Е р). Если в качестве комплекса (6) взять комплекс де Рама, то при естественном выборе метрики в р-формах и элемента объема, порожденных метрикой (2), получается в качестве Л. о. комплекса де Рама описанный выше Л. о. на формах. На комплексном многообразии Мнаряду с комплексом де Рама имеются эллиптич. комплексы [img: http://localhost:8080/file/031303-95.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031303-96.jpg] - пространство гладких форм типа (р, q).на М. Вводя эрмитову структуру в касательном расслоении на М, можно построить Л. о. (4) комплекса де Рама и Л. о. комплексов (7), (8): [img: http://localhost:8080/file/031303-97.jpg] Каждый из этих операторов переводит в себя пространство [img: http://localhost:8080/file/031303-98.jpg] Если М - кэлерово многообразие, а эрмитова структура на Миндуцирована кэлеровой метрикой, то [img: http://localhost:8080/file/031303-99.jpg] Важным фактом, определяющим роль Л. о. эллиптич. комплекса, является существование в случае компактного многообразия Мортогонального разложения Ходжа: [img: http://localhost:8080/file/031303-100.jpg] В этом разложении [img: http://localhost:8080/file/031303-101.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031303-102.jpg] - Л. о. комплекса (6), так что [img: http://localhost:8080/file/031303-103.jpg] - пространство "гармонических" сечений расслоения Е р (в случае комплекса де Рама - это пространство всех гармонических форм степени р). Прямая сумма первых двух слагаемых в правой части формулы (9) равна [img: http://localhost:8080/file/031303-104.jpg] а прямая сумма двух последних слагаемых совпадает с [img: http://localhost:8080/file/031303-105.jpg] В частности, разложение (9) задает изоморфизм пространства когомологий комплекса (6) в члене [img: http://localhost:8080/file/031303-106.jpg] и пространства гармонич. сечений [img: http://localhost:8080/file/031303-107.jpg]