Лапласа - бельтрами уравнение

Бельтрами уравнение, - обобщение Лапласа уравнения для функций на плоскости на случай функций ина произвольном двумерном римановом многообразии R класса С 2. Для поверхности R с локальными координатами x, h и первой квадратичной формой [img: http://localhost:8080/file/031304-70.jpg] Л.- Б. у. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031304-71.jpg] При E=G и F=0, т. е. для случая, когда (x, h) - изотермич. координаты на R, уравнение (*) переходит в уравнение Лапласа. Л.- Б. у. было введено Э. Бельтрами в 1864-65 (см. [1]). Левая часть уравнения (*), поделенная на [img: http://localhost:8080/file/031304-73.jpg] наз. вторым дифференциальным параметром Бельтрами. Регулярные решения uЛ.- Б. у. являются обобщениями гармонич. функций и наз. обычно гармоническими функциями на поверхности Д. Физически эти решения интерпретируются подобно обычным гармонич. функциям, напр, как потенциал скоростей потока несжимаемой жидкости, текущего по поверхности Л, или как потенциал элект-ростатич. поля на R, и т. п. Гармонич. функции на поверхности сохраняют свойства обычных гармонпч. функций. Для них справедливо обобщение Дирихле принципа:среди всех функций vкласса [img: http://localhost:8080/file/031304-74.jpg] в области [img: http://localhost:8080/file/031304-75.jpg] принимающих на границе дG те же значения, что гармонич. функция [img: http://localhost:8080/file/031304-76.jpg] последняя дает минимум интегралу Дирихле [img: http://localhost:8080/file/031304-77.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031304-78.jpg] - первый дифференциальный параметр Бельтрами, являющийся обобщением квадрата градиента grad2U на случай функций на поверхности. По поводу обобщения Л.- Б. у. на римановы многообразия высших размерностей см. Лапласа оператор.