Леви-чивита связность

аффинная связность на римановом пространстве М, к-рая является римановой связностью (т. е. связностью, относительно к-рой метрич. тензор ковариантно постоянный) и имеет нулевое кручение. Аффинная связность на Мопределяется этими условиями однозначно, так что каждое риманово пространство Мобладает единственной Л.-Ч. с. Впервые это понятие возникло в 1917 у Т. Леви-Чивита [1] в виде понятия параллельного перенесения вектора в римановой геометрии: Сама идея восходит еще к Ф. Миндингу (F. Minding), к-рый в 1837 ввел понятие развертки линии на поверхности. Относительно локальной координатной системы в М, где [img: http://localhost:8080/file/031306-84.jpg] Л.-Ч. с. на Мопределяется формами [img: http://localhost:8080/file/031306-85.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031306-86.jpg] ее тензор кривизны [img: http://localhost:8080/file/031306-87.jpg] определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/031306-88.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031306-89.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/031306-90.jpg] при этом: [img: http://localhost:8080/file/031306-91.jpg] Тензор кривизны Л.-Ч. с. имеет n2(n2 -1)/12 существенных компонент, где re=dim М. Напр., при n=2 имеется только одна существенная компонента [img: http://localhost:8080/file/031306-92.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031306-93.jpg] где К - гауссова кривизна. Если риманово пространство Мизометрически погружено в евклидово пространство EN, то его Л.-Ч. с. характеризуется следующим образом: для произвольных двух векторных полей X, У на. [img: http://localhost:8080/file/031306-94.jpg] ковариантная производная [img: http://localhost:8080/file/031306-95.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/031306-96.jpg] является ортогональной проекцией на касательную плоскость [img: http://localhost:8080/file/031306-97.jpg] обычного дифференциала (dYX)x поля Xв EN относительно вектора [img: http://localhost:8080/file/031306-98.jpg] Другими словами, отображение соседней бесконечно близкой касательной плоскости на исходную совершается путем ортогонального проектирования.