Леви каноническое представление

формула для логарифма характеристич. функции [img: http://localhost:8080/file/031305-182.jpg] безгранично делимого распределения: [img: http://localhost:8080/file/031305-183.jpg] где характеристики Л. к. п. [img: http://localhost:8080/file/031305-184.jpg] М, N удовлетворяют следующим условиям: [img: http://localhost:8080/file/031305-185.jpg] и N(х) - неубывающие непрерывные слева функции на [img: http://localhost:8080/file/031305-186.jpg] соответственно и такие, что [img: http://localhost:8080/file/031305-187.jpg] Каждому безгранично делимому распределению соответствует единственный набор характеристик Л. к. п. [img: http://localhost:8080/file/031305-188.jpg] и обратно, при приведенных выше условиях на [img: http://localhost:8080/file/031305-189.jpg] Ми Nпо любому такому набору Л. к. п. определяет логарифм характеристич. функции нек-рого безгранично делимого распределения. Так, для нормального распределения со средним аи дисперсией [img: http://localhost:8080/file/031305-190.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031305-191.jpg] Для распределения Пуассона с параметром l [img: http://localhost:8080/file/031305-193.jpg] Устойчивому распределению с показателем a, 0<a<2, соответствует Л. к. п. с [img: http://localhost:8080/file/031305-196.jpg] и нек-рым [img: http://localhost:8080/file/031305-197.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031305-198.jpg] - постоянные (с 1+с 2>0). Л. к. п. безгранично делимого распределения было предложено П. Леви (P. Levy, 1934). Оно является обобщением формулы А. Н. Колмогорова, найденной им в 1932 для случая, когда безгранично делимое распределение имеет конечную дисперсию. Для [img: http://localhost:8080/file/031305-199.jpg] имеется эквивалентная Л. к. п. формула, предложенная в 1937 А. Я. Хинчиным и называемая Леви-Хинчина каноническим представлением. Вероятностный смысл функций N и Ми область использования Л. к. п. определяются следующим: каждой безгранично делимой функции распределения F(х).соответствует стохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями [img: http://localhost:8080/file/031305-200.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031305-201.jpg] В свою очередь сепарабельный процесс Xупомянутого типа имеет с вероятностью 1 выборочные траектории без разрывов второго рода, и поэтому для b>a>0 определена случайная величина [img: http://localhost:8080/file/031305-202.jpg] равная числу элементов в множестве [img: http://localhost:8080/file/031305-203.jpg] В этих обозначениях для функции N, соответствующей F(x), имеет место следующее соотношение [img: http://localhost:8080/file/031305-204.jpg] Аналогичное соотношение имеет место и для функции М. В терминах характеристик Л. к. п. функции распределения [img: http://localhost:8080/file/031305-205.jpg] легко выражаются многие свойства поведения выборочных траекторий сепарабельного процесса X. В частности, при [img: http://localhost:8080/file/031305-206.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031305-207.jpg] почти все выборочные функции Xс вероятностью 1 будут ступенчатыми функциями с конечным числом скачков на любом конечном интервале. Если [img: http://localhost:8080/file/031305-208.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031305-209.jpg] то выборочные траектории Xс вероятностью 1 имеют ограниченную вариацию на любом конечном интервале. Непосредственно через характеристики Л. к. п. [img: http://localhost:8080/file/031305-210.jpg] определяется инфинитезимальный оператор, соответствующий процессу Храссматриваемому как марковская случайная функция. Многие аналитич. свойства безгранично делимой функции распределения непосредственно выражаются в терминах характеристик ее Л. к. п. Имеются аналоги Л. к. п. для безгранично делимых распределений, задаваемых на широком классе алгебраич. структур.