Леви проблема

- проблема геометрич. характеризации областей данного аналитич. ространства, являющихся пространствами Штейна; была поставлена Э. Леви [1] для областей аффинного пространства [img: http://localhost:8080/file/031306-16.jpg] в следующей форме. Пусть D - область в [img: http://localhost:8080/file/031306-17.jpg] каждая граничная точка [img: http://localhost:8080/file/031306-18.jpg] к-рой обладает следующим свойством: существуют окрестность Uточки [img: http://localhost:8080/file/031306-19.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031306-20.jpg] и голоморфная функция в [img: http://localhost:8080/file/031306-21.jpg] не продолжаемая голоморфно в точку [img: http://localhost:8080/file/031306-22.jpg] Является ли D голоморфности областью? Указанное свойство равносильно любому из следующих утверждений об области D:1) ни для какой [img: http://localhost:8080/file/031306-23.jpg] не существует последовательности ограниченных голоморфных поверхностей Sv, сходящейся к голоморфной поверхности S, причем [img: http://localhost:8080/file/031306-24.jpg] 2) область Dпсевдовыпукла, т. е. - [img: http://localhost:8080/file/031306-25.jpg] где р - евклидово расстояние,- плюрисубгармоничная функция в D;3) D - псевдовыпуклое многообразие, т. е. в Dсуществует плюрисубгармонич. функция, стремящаяся к [img: http://localhost:8080/file/031306-26.jpg] при приближении к дD. Л. п. для [img: http://localhost:8080/file/031306-27.jpg] была положительно решена в 1953-54 независимо К. Ока (К. Oka), X. Бремерманом (Н. Bremermann) и Ф. Норге (F. Norguet), причем К. Ока решил проблему в более общей постановке, относящейся к наложения областям над [img: http://localhost:8080/file/031306-28.jpg] (см. [2] - [6]). Результат К. Ока обобщается на области наложения над любым многообразием Штейна: если такая область Dявляется псевдовыпуклым многообразием, то D - многообразие Штейна. Л. п. положительно решена и в ряде других случаев, напр. для некомпактных областей наложения над проективным пространством [img: http://localhost:8080/file/031306-29.jpg] или над кэлеровым многообразием, на к-ром существует строго плюрисубгармонич. функция (см. [2]), для областей в кэлеровом многообразии с положительной голоморфной бисекци-онной кривизной [7]. В то же время известны примеры псевдовыпуклых многообразий и областей, не являющихся многообразиями Штейна и даже не голоморфно выпуклых. Необходимым и достаточным условием штейновости комплексного пространства является его сильная псевдовыпуклость (см. Лсевдовыпуклость и псевдовогнутость). Далее, сильно псевдовыпуклая область любого комплексного пространства голоморфно выпукла и является собственной модификацией некоторого пространства Штейна (см. [2], [4]). Л. п. может быть поставлена также для областей Dв бесконечномерном топологич. комплексном векторном пространстве Е. Если Елокально выпукло к D - область голоморфности, то Dпсевдовыпукла, т. с. в D существует плюрисубгармонич. функция, стремящаяся к [img: http://localhost:8080/file/031306-30.jpg] при приближении к дD. Обратная теорема неверна даже в банаховых пространствах, но доказана для банаховых пространств со счетным базисом и ряда других классов пространств Е(см. [2]).