Леви - крамера теорема

если сумма двух независимых непостоянных случайных величин нормально распределена, то и каждое из слагаемых нормально распределено; высказана П. Леви [1] и доказана Г. Крамером [2]. Эквивалентные формулировки: 1) если композиция двух собственных распределений является нормальным распределением, то и каждое из них является нормальным распределением; 2) если [img: http://localhost:8080/file/031306-50.jpg] - характеристич. функции и [img: http://localhost:8080/file/031306-51.jpg] В формулировке 1) Л.- К. т. допускает обобщение на композицию двух знакопеременных мер с ограничениями на отрицательную вариацию; в формулировке 2) - на случай, когда вместо условия (*) рассматривается условие [img: http://localhost:8080/file/031306-52.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031306-53.jpg] - характеристич. функции, [img: http://localhost:8080/file/031306-54.jpg] - положительные числа, Е - множество действительных чисел с точкой сгущения в нуле. Имеются обобщения Л. - К. т. на случайные величины в евклидовых пространствах и в локально компактных абелевых группах. Л.-К. т. обладает свойством устойчивости, т. е. близость распределения суммы независимых случайных величин к нормальному влечет близость распределения каждого из слагаемых к нормальному; известны количественные оценки устойчивости. Теоремы, аналогичные Л. - К. т., получены для распределения Пуассона, для композиции распределения Пуассона и нормального, для других классов безгранично делимых распределений (см. [6]).