Лежандра многочлены

сферические многочлены, - многочлены, ортогональные на сегменте [ -1,1] с единичным весом [img: http://localhost:8080/file/031306-127.jpg] Стандартизованные Л. м. определяются Родрига формулой [img: http://localhost:8080/file/031306-128.jpg] и имеют представление [img: http://localhost:8080/file/031306-129.jpg] Наиболее употребительны формулы [img: http://localhost:8080/file/031306-130.jpg] Л. м. можно определить как коэффициенты разложения производящей функции [img: http://localhost:8080/file/031306-131.jpg] где ряд в правой части сходится, если [img: http://localhost:8080/file/031306-132.jpg] Несколько первых стандартизованных Л. м. имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031306-133.jpg] Л. м. порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению (уравнению Лежандра) [img: http://localhost:8080/file/031306-134.jpg] к-рое появляется при решении уравнения Лапласа в сферич. координатах методом разделения переменных. Ортонормированные Л. м. имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031306-135.jpg] и допускают равномерную и весовую оценки [img: http://localhost:8080/file/031306-136.jpg] Ряды Фурье по Л. м. внутри интервала (-1, 1) аналогичны тригонометрич. рядам Фурье; есть теорема о равносходимости этих двух рядов, к-рая означает, что ряд Фурье - Лежандра функции f(х).в точке [img: http://localhost:8080/file/031306-137.jpg] сходится тогда и только тогда, когда в точке [img: http://localhost:8080/file/031306-138.jpg] сходится тригонометрия, ряд Фурье функции [img: http://localhost:8080/file/031306-139.jpg] В окрестности концов положение иное, ибо последовательность [img: http://localhost:8080/file/031306-140.jpg] возрастает со скоростью [img: http://localhost:8080/file/031306-141.jpg] Если функция f(x).на гегменте [-1, 1] непрерывна и удовлетворяет условию Липшица порядка [img: http://localhost:8080/file/031306-142.jpg] то ряд Фурье - Лежандра сходится к функции f(х).равномерно на всем сегменте [-1, 1]. При условии [img: http://localhost:8080/file/031306-143.jpg] этот ряд, вообще говоря, расходится в точках x=±1. Эти многочлены введены А. Лежандром [1].