Линеаризации методы

- методы, позволяющие свести решение нелинейных задач к последовательному решению родственных линейных задач. Пусть рассматривается нелинейное операторное уравнение [img: http://localhost:8080/file/031312-201.jpg] где оператор Lотображает банахово пространство Нв себя, L(0)=0, и дифференцируем по Фреше. Одним из классич. методов решения (1), связанным с линеаризацией (1), является итерационный метод Ньютона - Канторовича, в к-ром при известном приближении и n новое приближение и n+1 определяется как решение линейного уравнения [img: http://localhost:8080/file/031312-202.jpg] основой метода служит аппроксимация [img: http://localhost:8080/file/031312-203.jpg] (при малых [img: http://localhost:8080/file/031312-204.jpg]) выражением [img: http://localhost:8080/file/031312-205.jpg] - производная Фреше оператора Lв точке и n. Различные модификации этого метода и соответствующие оценки скорости сходимости могут быть найдены в [1] - [4]. Само операторное уравнение (1) может соответствовать, напр., нелинейной краевой задаче для уравнения с частными производными (см. [2], [4], [5]), и тогда на каждом шаге в (2) должна решаться линейная краевая задача, что вызывает необходимость применения численных методов и той или иной дискретизации исходной задачи и родственных ей линейных задач. С вычислительной точки зрения более естественно рассматривать методы линеаризации после соответствующей дискретизации исходной задачи, считая (1) операторным уравнением в конечномерном пространстве. Другим примером Л. м. для приближенного решения (1) может служить итерационный метод секущих (ложного положения) (см. [2], [3]). Во многих случаях для задач (1), являющихся задачами математич. физики, линеаризацию [img: http://localhost:8080/file/031312-206.jpg] предпочитают проводить на основе физич. соображений, заменяя [img: http://localhost:8080/file/031312-207.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031312-208.jpg] с линейным оператором [img: http://localhost:8080/file/031312-209.jpg] (см. [5] - [11]). Тогда получаемые итерационные методы записываются в виде [img: http://localhost:8080/file/031312-210.jpg] Таковы, напр., методы упругих решений и переменных параметров для решения нелинейных задач теории упругости (см. [5] - [8]); при этом для метода упругих решений линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/031312-211.jpg] соответствует оператору линейной теории упругости. К ним же примыкают итерационный метод Качанова (см. [9], [10]) и метод последовательных нагружений (см. [6] - [8]), сочетающий в себе идеи линеаризации и продолжения по параметру. Иногда вместо методов (3) используются более общие итерационные методы типа [img: http://localhost:8080/file/031312-212.jpg] с итерационным параметром [img: http://localhost:8080/file/031312-213.jpg] подлежащим выбору. При реализации упомянутых методов следует учитывать и приближенность решения систем (напр., как следствие применения вспомогательных итерационных методов) (см., напр., [1], [12], [13]). При рассмотрении нелинейных задач на собственные значения (задач нахождения точек бифуркации), напр. вида [img: http://localhost:8080/file/031312-214.jpg] идея линеаризации (5), сводящая исследование задачи (5) к исследованию линейной задачи на собственные значения [img: http://localhost:8080/file/031312-215.jpg] оказалась весьма плодотворной (см. [14] - [16]). Часто используется та или иная линеаризация и в сеточных методах решения нестационарных нелинейных задач (см., напр., [17] - [21]), проводимая за счет известных решений в моменты времени до tn и дающая линейные уравнения для решения в следующий дискретный момент [img: http://localhost:8080/file/031312-216.jpg] (t - шаг по времени).