Линейное параболическое уравнение и система

- дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида [img: http://localhost:8080/file/031318-110.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031318-111.jpg] - натуральные, р - целое, [img: http://localhost:8080/file/031318-112.jpg] рассматриваемое в области Dпеременных [img: http://localhost:8080/file/031318-113.jpg] Система (1) наз. параболической (по Петровскому) в точке [img: http://localhost:8080/file/031318-114.jpg] если корни [img: http://localhost:8080/file/031318-115.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031318-116.jpg] многочлена по [img: http://localhost:8080/file/031318-117.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031318-118.jpg] удовлетворяют неравенству [img: http://localhost:8080/file/031318-119.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/031318-120.jpg] с мнимой единицей i и [img: http://localhost:8080/file/031318-121.jpg] - символ Кронекера. Система (1) параболическая в D, если неравенство (2) выполняется для всех [img: http://localhost:8080/file/031318-122.jpg] и равномерно параболическая в D, если [img: http://localhost:8080/file/031318-123.jpg] с нек-рой постоянной [img: http://localhost:8080/file/031318-124.jpg] Для случая уравнения 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/031318-125.jpg] можно дать другое определение параболичности. Для заданной точки [img: http://localhost:8080/file/031318-126.jpg] существует аффинное преобразование, приводящее (3) к виду [img: http://localhost:8080/file/031318-127.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031318-128.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031318-129.jpg] Уравнение (3) параболическое в точке х 0, если одно из [img: http://localhost:8080/file/031318-130.jpg] равно нулю, остальные [img: http://localhost:8080/file/031318-131.jpg] и имеют одинаковые знаки и [img: http://localhost:8080/file/031318-132.jpg] Уравнение (3) параболическое в области D, если оно параболическое в каждой ее точке. Если коэффициенты параболического в Dуравнения (3) достаточно гладкие, то в окрестности каждой точки [img: http://localhost:8080/file/031318-133.jpg] невырожденной заменой переменных его можно привести к виду [img: http://localhost:8080/file/031318-134.jpg] с положительно определенной формой [img: http://localhost:8080/file/031318-135.jpg] Типичным представителем параболич. уравнения является теплопроводности уравнение [img: http://localhost:8080/file/031318-136.jpg] основные свойства к-рого сохраняются и для общих параболич. уравнений. Для уравнения (4) основными являются следующие задачи. Задача Коши - Дирихле: найти функцию и(х, t), к-рая при [img: http://localhost:8080/file/031318-137.jpg] удовлетворяет уравнению (4), а при t=0 - начальному условию [img: http://localhost:8080/file/031318-138.jpg] Первая краевая задача, в к-рой уравнение (4) задано в цилиндре [img: http://localhost:8080/file/031318-139.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031318-140.jpg] - нек-рая область пространства [img: http://localhost:8080/file/031318-141.jpg] Требуется найти функцию м, удовлетворяющую уравнению (4), начальному условию [img: http://localhost:8080/file/031318-142.jpg] и краевому условию [img: http://localhost:8080/file/031318-143.jpg] Вторая и третья краевые задачи отличаются от первой лишь условием (6), к-рое заменяется вторым краевым условием [img: http://localhost:8080/file/031318-144.jpg] или соответственно третьим [img: http://localhost:8080/file/031318-145.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031318-146.jpg] - компоненты внешней нормали. Классич. постановка указанных задач требует от решения непрерывности в замкнутой области, непрерывности вторых производных внутри и в случае второй и третьей краевых задач непрерывности первых производных вплоть до боковой поверхности цилиндра [img: http://localhost:8080/file/031318-147.jpg] Кроме того, для задачи Коши - Дирихле, а в случае неограниченности [img: http://localhost:8080/file/031318-148.jpg] и для краевых задач требуется ограниченность решения ипри [img: http://localhost:8080/file/031318-149.jpg] (или, более общо, надлежащим образом заданный рост |u|). Пусть уравнение (4) равномерно параболическое, коэффициенты уравнения, начальных и краевых условий и граница области достаточно гладки. Тогда решения задачи Коши - Дирихле и первой краевой задачи существуют и единственны. Если [img: http://localhost:8080/file/031318-150.jpg] и выполнены необходимые условия согласования, то аналогичный результат справедлив и для второй и третьей краевых задач. Единственность указанных задач следует из принципа максимума. Пусть коэффициенты уравнения (4) непрерывны в [img: http://localhost:8080/file/031318-151.jpg] область [img: http://localhost:8080/file/031318-152.jpg] ограничена, [img: http://localhost:8080/file/031318-153.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031318-154.jpg] Тогда для любого решения [img: http://localhost:8080/file/031318-155.jpg] уравнения (4) справедлива оценка [img: http://localhost:8080/file/031318-156.jpg] Принцип максимума допускает распространение и на случай неограниченных областей. Кроме того, для параболич. уравнений имеет место аналог принципа Заремба - Жиро о знаке наклонной производной в точке экстремума, известного в теории эллиптич. уравнений. В теории параболич. уравнений важную роль играют фундаментальные решения. В случае уравнения теплопроводности (5) им является функция [img: http://localhost:8080/file/031318-157.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031318-158.jpg] удовлетворяющая уравнению (5), причем для любой ограниченной непрерывной в [img: http://localhost:8080/file/031318-159.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/031318-160.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031318-161.jpg] равномерно на компактных подмножествах точек [img: http://localhost:8080/file/031318-162.jpg] В частности, при [img: http://localhost:8080/file/031318-163.jpg] получается решение [img: http://localhost:8080/file/031318-164.jpg] задачи Коши - Дирихле. На значение решения и в точке (х, t), t>0, влияют все значения функции. Это служит выражением того факта, что возмущения задачи Коши - Дирихле распространяются с бесконечной скоростью. В этом существенное отличие параболич. уравнений от гиперболических, где скорость распространения возмущений конечна. Фундаментальные решения могут быть построены и для общих параболич. уравнений и систем при весьма широких предположениях относительно гладкости коэффициентов.