Линейно упорядоченная группа

алгебраическая система G, являющаяся группой относительно операции умножения, линейно упорядоченным множеством относительно бинарного отношения порядка [img: http://localhost:8080/file/031316-25.jpg] и удовлетворяющая аксиоме: для любых элементов [img: http://localhost:8080/file/031316-26.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031316-27.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/031316-28.jpg] Множество положительных элементов [img: http://localhost:8080/file/031316-29.jpg] Л. у. г. Gобладает свойствами: 1) [img: http://localhost:8080/file/031316-30.jpg] Обратно, если в группе G имеется множество P, удовлетворяющее свойствам 1) - 4), то Gможет быть превращена в Л. у. г., множество положительных элементов к-рой есть Р. Имеется большое число признаков упорядочиваемости группы. Упорядочиваемые группы являются группами без кручения с однозначным извлечением корня. Упорядочиваемыми являются все абелевы группы без кручения, нильпотентные группы без кручения, свободные группы и свободные разрешимые группы. Существуют простые и нехопфовы Л. у. г. Факторгруппа упорядочиваемой группы по ее центру упорядочиваема. Прямое, полное прямое и свободное произведения, а также сплетение Л. у. г. могут быть линейно упорядочены с продолжением порядков сомножителей. Группа, аппроксимируемая упорядочиваемыми группами, сама упорядочиваема. Для упорядочиваемых групп справедлива локальная теорема (см. Мальцева локальные теоремы). Л. у. г. вкладывается в мультипликативную группу линейно упорядоченного тела и в простую Л. у. г. Класс упорядочиваемых групп - аксиоматизируемый. Л. у. г. является топологической группой с интервальной топологией. Л. у. г. является архимедовой группой тогда и только тогда, когда она не имеет нетривиальных выпуклых подгрупп. Любая архимедова Л. у. г. изоморфна нек-рой подгруппе аддитивной группы действительных чисел с естественным порядком. Множество всех выпуклых подгрупп Л. у. г. образует полную инфраинвариантную систему, факторы к-рой архимедовы, и, значит, Л. у. г. обладают разрешимыми нормальными системами (см. Подгрупп система). Специфическими для теории Л. у. г. являются вопросы, связанные с продолжением частичных порядков (см. Доупорядочиваемая группа). Имеется ряд обобщений понятия Л. у. г.