Линейный дифференциальный оператор

в узком смысле - оператор, действующий на функции, заданные на открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/031320-54.jpg] и принимающий значения в поле [img: http://localhost:8080/file/031320-55.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031320-56.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/031320-57.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031320-58.jpg] - функции со значениями в том же поле, наз. коэффициентами А. Если коэффициенты принимают значения во множестве матриц размера [img: http://localhost:8080/file/031320-59.jpg] над полем k, то Л. д. о. Аопределен на вектор-функциях u=(u1,..., un).и преобразует их вектор-функции v=(v1,..., vt). В случае n=1 он наз. обыкновенным линейным дифференциальным оператором, ав случае n>1 - линейным дифференциальным оператором с частными п. Пусть X - дифференцируемое многообразие, Еи F - конечномерные векторные расслоения на X(все из класса [img: http://localhost:8080/file/031320-60.jpg]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031320-61.jpg] - пучки ростков сечений этих расслоений соответствующей гладкости. Л. д. о. в широком смысле [img: http://localhost:8080/file/031320-62.jpg] есть отображение пучков [img: http://localhost:8080/file/031320-63.jpg] удовлетворяющее условию: всякая точка [img: http://localhost:8080/file/031320-64.jpg] имеет координатную окрестность U, в пределах к-рой расслоения тривиальны, а отображение [img: http://localhost:8080/file/031320-65.jpg] где Г(U, Е).- пространство сечений над Uрасслоения Е, действует по формуле (1), в к-рой использованы локальные координаты х 1,..., х п и тривиализации [img: http://localhost:8080/file/031320-66.jpg] Минимальное число т, пригодное для формулы (1) во всех точках [img: http://localhost:8080/file/031320-67.jpg] наз. порядком Л. д. о. А. Напр., всякая ненулевая связность в расслоении Еесть нек-рый Л. д. о.. [img: http://localhost:8080/file/031320-68.jpg] _ первого порядка. Другое, эквивалентное определение Л. д. о. [img: http://localhost:8080/file/031320-69.jpg] таково: это - линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/031320-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031320-71.jpg] удовлетворяющий условию [img: http://localhost:8080/file/031320-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031320-73.jpg] где supp и - носитель и. Л. д. о. может быть задан на более широких функциональных пространствах. Напр., если на Xзадана положительная мера, а на расслоениях Еи F- нек-рое скалярное произведение, то определены пространства квадратично суммируемых сечений этих расслоений. Л. д. о., заданный локальными выражениями (1), определяет линейный неограниченный оператор [img: http://localhost:8080/file/031320-74.jpg] При нек-рых слабых предположениях последний может быть замкнут как оператор в гильбертовых пространствах. Это замыкание также носит название Л. д. о. Подобным же образом может быть построен оператор, действующий в пространствах Соболева или в пространствах более общих шкал. Л. д. о. класса [img: http://localhost:8080/file/031320-75.jpg] может быть расширен до оператора в пространствах обобщенных сечений. Такое расширение может быть построено с помощью формально сопряженного оператора. Пусть Е'- расслоение, сопряженное с Е(т. е. [img: http://localhost:8080/file/031320-76.jpg] - одномерное тривиальное расслоение), а W - расслоение нечетных дифференциальных форм на Xмаксимальной степени. Определено билинейное отображение [img: http://localhost:8080/file/031320-77.jpg] включающее интегрирование по X. Здесь Г 0(...) - пространство сечений с компактными носителями. Формула [img: http://localhost:8080/file/031320-78.jpg] однозначно определяет нек-рый линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/031320-79.jpg] Он порождается Л. д. о. [img: http://localhost:8080/file/031320-80.jpg] к-рый в пределах координатной окрестности Uимеет выражение [img: http://localhost:8080/file/031320-81.jpg] если расслоение W тривиализовано выбором сечения [img: http://localhost:8080/file/031320-82.jpg] Л. д. о. tA наз. формально сопряженным по отношению к А. В пространстве [img: http://localhost:8080/file/031320-83.jpg] задается сходимость по следующему правилу: [img: http://localhost:8080/file/031320-84.jpg] если объединение носителей сечений fk принадлежит компакту, и в любой координатной окрестности [img: http://localhost:8080/file/031320-85.jpg] над к-рой имеется тривиализация Е, вектор-функции fk равномерно сходятся к f вместе со всеми частными производными по локальным координатам. Пространство всех линейных функционалов над [img: http://localhost:8080/file/031320-86.jpg] непрерывных относительно указанной сходимости, наз. пространством обобщенных сечений Е и обозначается D' (Е). Оператор tA переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся и потому порождает сопряженный оператор [img: http://localhost:8080/file/031320-87.jpg] Последний совпадает с Ана подпространстве Г (X, Е).и наз. продолжением данного Л. д. о. на пространство обобщенных сечений. Рассматриваются также и другие расширения Л. д. о.: на пространства обобщенных сечений бесконечного порядка, на различные пространства гиперфункций и т. д. Под Л. д. о. бесконечного порядка понимается оператор, действующий в том или ином пространстве аналитич. функций (сечений), заданный формулой (1), в к-рой суммирование производится по бесконечному множеству индексов il,..., in. Следующее свойство характеризует Л. д. о. Последовательность [img: http://localhost:8080/file/031320-88.jpg] объявляется сходящейся к сечению f, если fk равномерно стремится к fвместе со всеми частными производными в любой координатной окрестности, имеющей компактное замыкание. Линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/031320-89.jpg] переводящий сходящиеся последовательности в сходящееся, является Л. д. о. порядка не выше ттогда и только тогда, когда для любых [img: http://localhost:8080/file/031320-90.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/031320-91.jpg] является полиномом по параметру [img: http://localhost:8080/file/031320-92.jpg] степени не выше т. Если это условие заменить предположением, что (2) представляется асимптотич. степенным рядом, то получается определение линейного псевдодифференциального оператора. Пусть многообразие X, а также расслоения Еи Fснабжены G-структурой, где G - нек-рая группа. Тогда определено действие этой группы на любой Л. д. о. [img: http://localhost:8080/file/031320-93.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/031320-94.jpg] Л. д. о. Аназ. инвариантным относительно G, если g*(A) = A для всех [img: http://localhost:8080/file/031320-95.jpg] Расслоение струй (джетов) есть объект, двойственный пространству Л. д. о. Пусть снова Е - векторное расслоение на многообразии Xкласса [img: http://localhost:8080/file/031320-96.jpg] Расслоение m-струй сечений Еесть векторное расслоение Jm (Е).на X, слой к-рого над точкой хравен [img: http://localhost:8080/file/031320-97.jpg] - слой пучка [img: http://localhost:8080/file/031320-98.jpg] - подпространство этого слоя, состоящее из ростков сечений, у к-рых в точке хобращаются в нуль все дифференциалы до порядка твключительно. Л. д. о. [img: http://localhost:8080/file/031320-99.jpg] действующий по правилу: значение сечения dm (и).в точке хравно образу сечения ив фак-торпространстве [img: http://localhost:8080/file/031320-100.jpg] наз. универсальным. Пусть, далее, F - расслоение на X, а [img: http://localhost:8080/file/031320-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031320-102.jpg] - гомоморфизм расслоений, т. е. Л. д. о. нулевого порядка. Композиция [img: http://localhost:8080/file/031320-103.jpg] есть Л. д. о. порядка не выше т. Обратно, всякий Л. д. о. порядка не выше тможет быть представлен единственным способом в виде композиции (3). Символ (главный символ) Л. д. о. [img: http://localhost:8080/file/031320-104.jpg] есть семейство линейных отображений [img: http://localhost:8080/file/031320-105.jpg] зависящее от точки [img: http://localhost:8080/file/031320-106.jpg] кокасательного расслоения Т*(X). Они действуют по формуле [img: http://localhost:8080/file/031320-107.jpg] где а - гомоморфизм, участвующий в факторизации (3), [img: http://localhost:8080/file/031320-108.jpg] - элемент J т (Е) х, равный образу fme, где f - росток функции класса [img: http://localhost:8080/file/031320-109.jpg] такой, что f(x)=0, [img: http://localhost:8080/file/031320-110.jpg] Если Аимеет вид (1), то [img: http://localhost:8080/file/031320-111.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031320-112.jpg] - координаты слоя расслоения [img: http://localhost:8080/file/031320-113.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031320-114.jpg] таким образом, символ является однородной по [img: http://localhost:8080/file/031320-115.jpg] формой степени т. В соответствии с этой конструкцией символа вводится понятие характеристики. Характеристикой Л. д. о. Аназ. точка [img: http://localhost:8080/file/031320-116.jpg] в к-рой символ sA имеет ненулевое ядро. Принятая в теории Л. д. о. классификация относится главным образом к Л. д. о., действующим в расслоениях одинаковой размерности, фактически к операторам вида (1), где коэффициенты суть квадратные матрицы. Л. д. о. наз. эллиптическим, если он не имеет действительных характеристик [img: http://localhost:8080/file/031320-117.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031320-118.jpg] Этот класс характеризуется наилучшими локальными свойствами решений уравнения Au=w, а также корректностью краевых задач в ограниченных областях. Класс гиперболических Л. д. о. также выделяется условием, наложенным лишь на характеристики. Свойство гиперболичности тесно связано с корректностью задачи Коши с неаналитич. начальными данными. Класс Л. д. о. главного типа задается условием, наложенным лишь на символ. Для таких операторов развита теория локальной разрешимости и гладкости решений. Класс параболических Л. д. о. выделяется условием, касающимся не только символа, но и нек-рых младших членов. Для параболич. Л. д. о. характерна смешанная задача и задача Коши с условиями на бесконечности. Класс гипоэллиптических Л. д. о. задается следующим неформальным условием: всякое априори обобщенное решение уравнения Au=w с правой частью из [img: http://localhost:8080/file/031320-119.jpg] само принадлежит [img: http://localhost:8080/file/031320-120.jpg] Известен ряд формальных условий на выражение (1), обеспечивающих гипоэллиптичность оператора. Помимо указанных основных типов Л. д. о., иногда говорят о Л. д. о. смешанного или переменного типа, о Л. д. о. составного типа и др. Рассматриваются также задачи в неограниченных областях с условиями на бесконечности, краевые задачи со свободной границей, задачи спектральной теории, задачи оптимального управления и др. Комплекс Л. д. о. есть последовательность Л. д. о. [img: http://localhost:8080/file/031320-121.jpg] в к-рой [img: http://localhost:8080/file/031320-122.jpg] для всех k. Когомологпя комплекса Л. д. о. Е* есть когомология комплекса векторных пространств Г(Х, Е*). Пусть Hk - когомология этого комплекса в k-м члене. Сумма [img: http://localhost:8080/file/031320-123.jpg] наз. индексом данного комплекса Л. д. о. Так, индекс эллиптич. комплекса Л. д. о. (т. е. такого, что лишь конечное число Е k отлично от нулевого, и комплекс, образованный символами Л. д. о. Ak, точен во всех точках [img: http://localhost:8080/file/031320-124.jpg]) конечен в случае компактного X, и отыскание формул, выражающих индекс такого комплекса через его символ, является содержанием ряда исследований, объединяющих теорию Л. д. о. с алгебраич. геометрией и алгебраич. топологией (см. Индекса формулы). Описанное определение символа не является вполне удовлетворительным для Л. д. о., действующих в расслоениях размерности, большей 1. Одной из причин этого является тот факт, что равенство [img: http://localhost:8080/file/031320-125.jpg] может нарушаться. Следующая усложненная конструкция, заменяющая понятие символа, является более адекватной. Для всякого расслоения Ена многообразии Xкласса [img: http://localhost:8080/file/031320-126.jpg] рассматривается пучок D(Е).ростков Л. д. о. [img: http://localhost:8080/file/031320-127.jpg] где I - одномерное тривиальное расслоение. По определению, значение этого пучка на открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/031320-128.jpg] есть совокупность всех Л. д. о. [img: http://localhost:8080/file/031320-129.jpg] Пусть Dk(E) - его подпучок, образованный операторами порядка не выше k. В [img: http://localhost:8080/file/031320-130.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031320-131.jpg] имеется структура пучка (некоммутативных) алгебр, а в D(Е) - структура левого модуля над D, причем действие [img: http://localhost:8080/file/031320-132.jpg] равно композиции аb. Данный Л. д. о. [img: http://localhost:8080/file/031320-133.jpg] определяет морфизм левых D-модулей [img: http://localhost:8080/file/031320-134.jpg] по закону композиции [img: http://localhost:8080/file/031320-135.jpg] Пусть М(А) - коядро этого морфизма. Имеется точная последовательность левых D-модулей [img: http://localhost:8080/file/031320-136.jpg] О(Х)-подмодули [img: http://localhost:8080/file/031320-137.jpg] образуют возрастающую фильтрацию в М(А). Градуированный О(Х)-модуль [img: http://localhost:8080/file/031320-138.jpg] наз. символическим модулем Л. д. о. А. Поскольку при любых kи l действие Dk на М(А).переводит Ml в Ml+k, то в gr M(А).имеется структура градуированного модуля над градуированной алгеброй [img: http://localhost:8080/file/031320-139.jpg] Аннулятор этого модуля есть однородный идеал в gr D. Характеристическое многообразие оператора Аесть множество корней этого идеала. Так как алгебра gr Dизоморфна симметрич. алгебре касательного расслоения Т(Х), то характеристич. многообразие канонически вкладывается в Т*(X), причем его пересечение с каждым слоем есть алгебраич. конус. Если многообразие X, а также данные расслоения имеют вещественно или комплексно аналитич. структуру, то характеристич. многообразие совпадает с множеством корней идеала gr(ann М (А)). В этом случае оно является замкнутым аналитич. одмножеством в Т*(X), причем если оно не пусто, то его размерность не меньше dim X. В случае, когда эта размерность равна dim X, Л. д. о. Аназ. максимально переопределенным, или голономным. Формальная теория общих Л. д. о. имеет дело с понятиями формальной интегрируемости и резольвенты. Свойство формальной интегрируемости, формулируемое в двойственных терминах струй, эквивалентно условию: О(Х)-модуль gr M(А).локально свободен. Под резольвентой Л. д. о. Л понимается последовательность, продолжающая (4) [img: http://localhost:8080/file/031320-140.jpg] в к-рой все [img: http://localhost:8080/file/031320-141.jpg] суть Л. д. о. В частности, А 1 наз. оператором совместности для А. Формальная интегрируемость обеспечивает локальное существование резольвенты. В литературе используются термины "переопределенная" и "недоопределенная" система дифференциальных уравнений, однако удовлетворительное общее определение отсутствует. Нек-рым приближением к такому определению может служить следующее: существует ненулевой Л. д. о. Втакой, что [img: http://localhost:8080/file/031320-142.jpg] (п е р е о п р е д е л е н н о с т ь), АВ=0 (недоопределенность). Напр., Л. д. о. d, равный ограничению оператора внешнего дифференцирования на формах степени kна многообразии Xразмерности п, является недоопределенным при k>0, переопределенным при k<n и голономным при k=0. Основные задачи, изучаемые для общих Л. д. о.: разрешимость уравнения с правой частью Au=w при выполнении условия совместности A1u=0, возможность продолжения решений уравнения Аи=0 в большую область (эффект, связанный с переопределенностью), представление общего решения через решения специального вида. Последняя задача может быть сформулирована более конкретно для инвариантных операторов, напр. для Л. д. о. в [img: http://localhost:8080/file/031320-143.jpg] с постоянными или периодич. коэффициентами: записать представление группы Gв пространстве решений в виде интеграла (в том или ином смысле) по всем неразложимым подпредставлениям. Для определения операторов с постоянными коэффициентами такое представление задается интегралом по экспонентам (экспоненциальное представление), для операторов с периодич. коэффициентами - интегралом по обобщенным решениям Флоке. Определяются Л. д. о. и на произвольных алгебраич. структурах. Пусть R - коммутативное кольцо, Еи Fсуть R-модули. Отображение множеств [img: http://localhost:8080/file/031320-144.jpg] наз. Л. д. о. порядка не выше т, если оно аддитивно и для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/031320-145.jpg] отображение аА-Аа является Л. д. о. порядка не выше т -1. При этом под Л. д. о. порядка не выше -1 понимается лишь нулевое отображение. В частности, Л. д. о. нулевого порядка есть гомоморфизм Я-модулей и обратно. Всякое дифференцирование [img: http://localhost:8080/file/031320-146.jpg] является Л. д. о. 1-го порядка (или равно нулю). Если Rесть алгебра над нек-рым полем k, то под Л. д. о. над Л понимается Л. д. о. над кольцом Л, к-рый является k-линейным отображением. Такой Л. д. о. обладает рядом формальных свойств обычных Л. д. о. Если Rесть алгебра всех формальных степенных рядов над kили алгебра сходящихся степенных рядов над k а Еи F - свободные Я-модули конечного типа, то всякий Л. д. о. [img: http://localhost:8080/file/031320-147.jpg] порядка не выше тимеет однозначную запись (1). Пусть (X., О) - кольцованное пространство, Е п F суть О-модули. Под Л. д, о. [img: http://localhost:8080/file/031320-148.jpg] понимается всякий морфизм пучков, к-рый в слоях над каждой точкой [img: http://localhost:8080/file/031320-149.jpg] действует как Л. д. о. над кольцом (алгеброй) Ох. Л. д. о., действующие в модулях или пучках модулей, используются в ряде вопросов алгебраич. геометрии.