Линейный функционал

линейная форма, на векторном пространстве Lнад полем k- отображение [img: http://localhost:8080/file/031321-88.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/031321-89.jpg].для всех [img: http://localhost:8080/file/031321-90.jpg] Понятие Л. ф., будучи важным специальным случаем понятия линейного оператора, является одним из основных в линейной алгебре и играет значительную роль в анализе. На множестве [img: http://localhost:8080/file/031321-91.jpg] Л. ф. на Lопределены операции сложения и умножения на скаляр по формулам [img: http://localhost:8080/file/031321-92.jpg] Они задают в [img: http://localhost:8080/file/031321-93.jpg] структуру векторного" пространства над k. Ядром Л. ф. наз. подпространство [img: http://localhost:8080/file/031321-94.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031321-95.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031321-96.jpg] _ (т. е. [img: http://localhost:8080/file/031321-97.jpg]), то Кеr f - гиперплоскость в L. Л. ф. с совпадающими ядрами пропорциональны. Если [img: http://localhost:8080/file/031321-98.jpg] - базис в L, то для [img: http://localhost:8080/file/031321-99.jpg] Сопоставление [img: http://localhost:8080/file/031321-100.jpg] } есть изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031321-101.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031321-102.jpg] Следствие: Lизоморфно [img: http://localhost:8080/file/031321-103.jpg] тогда и только тогда, когда оно конечномерно. При переходе к новому базису в Lэлементы [img: http://localhost:8080/file/031321-104.jpg] преобразуются по тем же формулам, что и векторы базиса. Оператор [img: http://localhost:8080/file/031321-105.jpg] определенный равенством [img: http://localhost:8080/file/031321-106.jpg] инъективен. Он является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Lконечномерно. Этот изоморфизм, в отличие от изоморфизма между Lи [img: http://localhost:8080/file/031321-107.jpg] естествен. Л. ф. на локально выпуклых пространствах, в частности нормированных пространствах,- важный объект изучения функционального анализа. Каждый непрерывный (как отображение топологич. пространств) Л. ф. f на локально выпуклом пространстве Еограничен, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031321-108.jpg] для всех ограниченных [img: http://localhost:8080/file/031321-109.jpg] Если Е - нормированное пространство, то верно и обратное; при этом оба свойства эквивалентны конечности числа [img: http://localhost:8080/file/031321-110.jpg] Непрерывные Л. ф. на локально выпуклом пространстве Еобразуют подпространство [img: http://localhost:8080/file/031321-111.jpg] к-рое наз. сопряженным к Д. В E* рассматриваются различные топологии, в том числе слабая и сильная, к-рые отвечают соответственно за поточечную и за равномерную сходимость на ограниченных множествах. Если Е - нормированное пространство, то Е* - банахово пространство относительно нормы [img: http://localhost:8080/file/031321-112.jpg] а соответствующая топология совпадает с сильной. Единичный шар [img: http://localhost:8080/file/031321-113.jpg] рассматриваемый в слабой топологии, компактен. Важные приложения к анализу имеет теорема Хана - Банаха, одна из формулировок к-рой такова: если [img: http://localhost:8080/file/031321-114.jpg] - преднорма на векторном пространстве Е, f0 - Л. ф., заданный на подпространстве Е 0 в Еи такой, что [img: http://localhost:8080/file/031321-115.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031321-116.jpg] то f0 может быть распространен на все Ес сохранением линейности и указанной оценки. Следствие: любой непрерывный Л. ф., заданный на подпростр-анстве E0 в локально выпуклом пространстве Е, может быть продолжен до непрерывного Л. ф. на Е, а если Е - нормированное пространство, то и с сохранением нормы. Отсюда для каждого [img: http://localhost:8080/file/031321-117.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/031321-118.jpg] Пусть Е - нормированное пространство, а Е* и затем (Е*)*взяты с соответствующими нормами. Тогда оператор [img: http://localhost:8080/file/031321-119.jpg] - изометрическое вложение. Если при этом вложении Есовпадает с (E*)*, то такое нормированное пространство, необходимо полное, наз. рефлексивным. Напр., [img: http://localhost:8080/file/031321-120.jpg] рефлексивны тогда и только тогда, когда р>1. Аналогичное понятие рефлексивности есть и для общих локально выпуклых пространств. Для многих конкретных локально выпуклых пространств описаны все Л. ф.: напр., сопряженное к гильбертову пространству Несть [img: http://localhost:8080/file/031321-121.jpg] для фиксированного [img: http://localhost:8080/file/031321-122.jpg] Сопряженное к С[ а, b]есть [img: http://localhost:8080/file/031321-123.jpg] для фиксированной функции ограниченной вариации [img: http://localhost:8080/file/031321-124.jpg] }.